Theorem ax12indalem 34230

Description: Lemma for ax12inda2 34232 and ax12inda 34233. (Contributed by NM, 24-Jan-2007.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ax12indalem.1	|- ( -. A. x x = y -> ( x = y -> ( ph -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ax12indalem	|- ( -. A. y y = z -> ( -. A. x x = y -> ( x = y -> ( A. z ph -> A. x ( x = y -> A. z ph ) ) ) ) )

Proof of Theorem ax12indalem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1 6	. . . . . . . . 9 |- ( A. x ph -> ( x = y -> A. x ph ) )
2	1	axc4i-o 34183	. . . . . . . 8 |- ( A. x ph -> A. x ( x = y -> A. x ph ) )
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( A. z z = x -> ( A. x ph -> A. x ( x = y -> A. x ph ) ) )
4		biidd 252	. . . . . . . 8 |- ( A. z z = x -> ( ph <-> ph ) )
5	4	dral1-o 34189	. . . . . . 7 |- ( A. z z = x -> ( A. z ph <-> A. x ph ) )
6	5	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( A. z z = x -> ( ( x = y -> A. z ph ) <-> ( x = y -> A. x ph ) ) )
7	6	dral2-o 34215	. . . . . . 7 |- ( A. z z = x -> ( A. x ( x = y -> A. z ph ) <-> A. x ( x = y -> A. x ph ) ) )
8	3, 5, 7	3imtr4d 283	. . . . . 6 |- ( A. z z = x -> ( A. z ph -> A. x ( x = y -> A. z ph ) ) )
9	8	aecoms-o 34187	. . . . 5 |- ( A. x x = z -> ( A. z ph -> A. x ( x = y -> A. z ph ) ) )
10	9	a1d 25	. . . 4 |- ( A. x x = z -> ( x = y -> ( A. z ph -> A. x ( x = y -> A. z ph ) ) ) )
11	10	a1d 25	. . 3 |- ( A. x x = z -> ( -. A. x x = y -> ( x = y -> ( A. z ph -> A. x ( x = y -> A. z ph ) ) ) ) )
12	11	adantr 481	. 2 |- ( ( A. x x = z /\ -. A. y y = z ) -> ( -. A. x x = y -> ( x = y -> ( A. z ph -> A. x ( x = y -> A. z ph ) ) ) ) )
13		simplr 792	. . . . 5 |- ( ( ( ( -. A. x x = z /\ -. A. y y = z ) /\ -. A. x x = y ) /\ x = y ) -> -. A. x x = y )
14		aecom-o 34186	. . . . . . . . 9 |- ( A. z z = x -> A. x x = z )
15	14	con3i 150	. . . . . . . 8 |- ( -. A. x x = z -> -. A. z z = x )
16		aecom-o 34186	. . . . . . . . 9 |- ( A. z z = y -> A. y y = z )
17	16	con3i 150	. . . . . . . 8 |- ( -. A. y y = z -> -. A. z z = y )
18		axc9 2302	. . . . . . . . 9 |- ( -. A. z z = x -> ( -. A. z z = y -> ( x = y -> A. z x = y ) ) )
19	18	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> ( x = y -> A. z x = y ) )
20	15, 17, 19	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. x x = z /\ -. A. y y = z ) -> ( x = y -> A. z x = y ) )
21	20	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ( -. A. x x = z /\ -. A. y y = z ) /\ x = y ) -> A. z x = y )
22	21	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ( -. A. x x = z /\ -. A. y y = z ) /\ -. A. x x = y ) /\ x = y ) -> A. z x = y )
23		hbnae-o 34213	. . . . . . 7 |- ( -. A. x x = y -> A. z -. A. x x = y )
24		hba1-o 34182	. . . . . . 7 |- ( A. z x = y -> A. z A. z x = y )
25	23, 24	hban 2128	. . . . . 6 |- ( ( -. A. x x = y /\ A. z x = y ) -> A. z ( -. A. x x = y /\ A. z x = y ) )
26		ax-c5 34168	. . . . . . 7 |- ( A. z x = y -> x = y )
27		ax12indalem.1	. . . . . . . 8 |- ( -. A. x x = y -> ( x = y -> ( ph -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) )
28	27	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. x x = y /\ x = y ) -> ( ph -> A. x ( x = y -> ph ) ) )
29	26, 28	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( -. A. x x = y /\ A. z x = y ) -> ( ph -> A. x ( x = y -> ph ) ) )
30	25, 29	alimdh 1745	. . . . 5 |- ( ( -. A. x x = y /\ A. z x = y ) -> ( A. z ph -> A. z A. x ( x = y -> ph ) ) )
31	13, 22, 30	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( ( -. A. x x = z /\ -. A. y y = z ) /\ -. A. x x = y ) /\ x = y ) -> ( A. z ph -> A. z A. x ( x = y -> ph ) ) )
32		ax-11 2034	. . . . . 6 |- ( A. z A. x ( x = y -> ph ) -> A. x A. z ( x = y -> ph ) )
33		hbnae-o 34213	. . . . . . . 8 |- ( -. A. x x = z -> A. x -. A. x x = z )
34		hbnae-o 34213	. . . . . . . 8 |- ( -. A. y y = z -> A. x -. A. y y = z )
35	33, 34	hban 2128	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. x x = z /\ -. A. y y = z ) -> A. x ( -. A. x x = z /\ -. A. y y = z ) )
36		hbnae-o 34213	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A. x x = z -> A. z -. A. x x = z )
37		hbnae-o 34213	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A. y y = z -> A. z -. A. y y = z )
38	36, 37	hban 2128	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. A. x x = z /\ -. A. y y = z ) -> A. z ( -. A. x x = z /\ -. A. y y = z ) )
39	38, 20	nf5dh 2026	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. x x = z /\ -. A. y y = z ) -> F/ z x = y )
40		19.21t 2073	. . . . . . . 8 |- ( F/ z x = y -> ( A. z ( x = y -> ph ) <-> ( x = y -> A. z ph ) ) )
41	39, 40	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. x x = z /\ -. A. y y = z ) -> ( A. z ( x = y -> ph ) <-> ( x = y -> A. z ph ) ) )
42	35, 41	albidh 1793	. . . . . 6 |- ( ( -. A. x x = z /\ -. A. y y = z ) -> ( A. x A. z ( x = y -> ph ) <-> A. x ( x = y -> A. z ph ) ) )
43	32, 42	syl5ib 234	. . . . 5 |- ( ( -. A. x x = z /\ -. A. y y = z ) -> ( A. z A. x ( x = y -> ph ) -> A. x ( x = y -> A. z ph ) ) )
44	43	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ( -. A. x x = z /\ -. A. y y = z ) /\ -. A. x x = y ) /\ x = y ) -> ( A. z A. x ( x = y -> ph ) -> A. x ( x = y -> A. z ph ) ) )
45	31, 44	syld 47	. . 3 |- ( ( ( ( -. A. x x = z /\ -. A. y y = z ) /\ -. A. x x = y ) /\ x = y ) -> ( A. z ph -> A. x ( x = y -> A. z ph ) ) )
46	45	exp31 630	. 2 |- ( ( -. A. x x = z /\ -. A. y y = z ) -> ( -. A. x x = y -> ( x = y -> ( A. z ph -> A. x ( x = y -> A. z ph ) ) ) ) )
47	12, 46	pm2.61ian 831	1 |- ( -. A. y y = z -> ( -. A. x x = y -> ( x = y -> ( A. z ph -> A. x ( x = y -> A. z ph ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   F/wnf 1708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-c5 34168  ax-c4 34169  ax-c7 34170  ax-c10 34171  ax-c11 34172  ax-c9 34175

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710

This theorem is referenced by:  ax12inda2  34232