Theorem bnj1000 31011

Description: Technical lemma for bnj852 30991. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj1000.1	|- ( ps <-> A. i e. om ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
bnj1000.2	|- ( ps" <-> [. G / f ]. ps )
bnj1000.3	|- G e. _V
bnj1000.15	|- C = U_ y e. ( f ` m ) pred ( y , A , R )
bnj1000.16	|- G = ( f u. { <. n , C >. } )

Assertion

Ref	Expression
bnj1000	|- ( ps" <-> A. i e. om ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) ) )

Distinct variable groups:   A, f   i, G   f, N   R, f   f, i, y   y, n

Allowed substitution hints:   ps( y, f, i, m, n)   A( y, i, m, n)   C( y, f, i, m, n)   R( y, i, m, n)   G( y, f, m, n)   N( y, i, m, n)   ps"( y, f, i, m, n)

Proof of Theorem bnj1000

Dummy variables e w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj1000.2	. 2 |- ( ps" <-> [. G / f ]. ps )
2		df-ral 2917	. . . . 5 |- ( A. i e. om ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> A. i ( i e. om -> ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
3	2	bicomi 214	. . . 4 |- ( A. i ( i e. om -> ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) <-> A. i e. om ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
4	3	sbcbii 3491	. . 3 |- ( [. G / f ]. A. i ( i e. om -> ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) <-> [. G / f ]. A. i e. om ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
5		bnj1000.3	. . . . . . 7 |- G e. _V
6		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ f i e. om
7	6	sbc19.21g 3502	. . . . . . 7 |- ( G e. _V -> ( [. G / f ]. ( i e. om -> ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) <-> ( i e. om -> [. G / f ]. ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) ) )
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( [. G / f ]. ( i e. om -> ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) <-> ( i e. om -> [. G / f ]. ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
9		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ f suc i e. N
10	9	sbc19.21g 3502	. . . . . . . . 9 |- ( G e. _V -> ( [. G / f ]. ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> ( suc i e. N -> [. G / f ]. ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
11	5, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( [. G / f ]. ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> ( suc i e. N -> [. G / f ]. ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
12		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = G -> ( f ` suc i ) = ( G ` suc i ) )
13		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = G -> ( f ` i ) = ( G ` i ) )
14		ax-5 1839	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. ( f ` i ) -> A. y w e. ( f ` i ) )
15		bnj1000.16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- G = ( f u. { <. n , C >. } )
16		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ y f
17		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ y n
18		bnj1000.15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- C = U_ y e. ( f ` m ) pred ( y , A , R )
19		nfiu1 4550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ y U_ y e. ( f ` m ) pred ( y , A , R )
20	18, 19	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ y C
21	17, 20	nfop 4418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ y <. n , C >.
22	21	nfsn 4242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ y { <. n , C >. }
23	16, 22	nfun 3769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ y ( f u. { <. n , C >. } )
24	15, 23	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ y G
25		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ y i
26	24, 25	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y ( G ` i )
27	26	nfcrii 2757	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. ( G ` i ) -> A. y w e. ( G ` i ) )
28	14, 27	bnj1316 30891	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` i ) = ( G ` i ) -> U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) )
29	13, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = G -> U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) )
30	12, 29	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( f = G -> ( ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) <-> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
31		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = e -> ( f ` suc i ) = ( e ` suc i ) )
32		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = e -> ( f ` i ) = ( e ` i ) )
33		ax-5 1839	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` i ) = ( e ` i ) -> A. y ( f ` i ) = ( e ` i ) )
34	33	bnj956 30847	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` i ) = ( e ` i ) -> U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) = U_ y e. ( e ` i ) pred ( y , A , R ) )
35	32, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = e -> U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) = U_ y e. ( e ` i ) pred ( y , A , R ) )
36	31, 35	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( f = e -> ( ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) <-> ( e ` suc i ) = U_ y e. ( e ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
37		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 |- ( e = G -> ( e ` suc i ) = ( G ` suc i ) )
38		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e = G -> ( e ` i ) = ( G ` i ) )
39		ax-5 1839	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. ( e ` i ) -> A. y w e. ( e ` i ) )
40	39, 27	bnj1316 30891	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( e ` i ) = ( G ` i ) -> U_ y e. ( e ` i ) pred ( y , A , R ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) )
41	38, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( e = G -> U_ y e. ( e ` i ) pred ( y , A , R ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) )
42	37, 41	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( e = G -> ( ( e ` suc i ) = U_ y e. ( e ` i ) pred ( y , A , R ) <-> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
43	5, 30, 36, 42	bnj610 30817	. . . . . . . . 9 |- ( [. G / f ]. ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) <-> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) )
44	43	imbi2i 326	. . . . . . . 8 |- ( ( suc i e. N -> [. G / f ]. ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
45	11, 44	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( [. G / f ]. ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
46	45	imbi2i 326	. . . . . 6 |- ( ( i e. om -> [. G / f ]. ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) <-> ( i e. om -> ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
47	8, 46	bitri 264	. . . . 5 |- ( [. G / f ]. ( i e. om -> ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) <-> ( i e. om -> ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
48	47	albii 1747	. . . 4 |- ( A. i [. G / f ]. ( i e. om -> ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) <-> A. i ( i e. om -> ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
49		sbcal 3485	. . . 4 |- ( [. G / f ]. A. i ( i e. om -> ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) <-> A. i [. G / f ]. ( i e. om -> ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
50		df-ral 2917	. . . 4 |- ( A. i e. om ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> A. i ( i e. om -> ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
51	48, 49, 50	3bitr4ri 293	. . 3 |- ( A. i e. om ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> [. G / f ]. A. i ( i e. om -> ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
52		bnj1000.1	. . . 4 |- ( ps <-> A. i e. om ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
53	52	sbcbii 3491	. . 3 |- ( [. G / f ]. ps <-> [. G / f ]. A. i e. om ( suc i e. N -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
54	4, 51, 53	3bitr4ri 293	. 2 |- ( [. G / f ]. ps <-> A. i e. om ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
55	1, 54	bitri 264	1 |- ( ps" <-> A. i e. om ( suc i e. N -> ( G ` suc i ) = U_ y e. ( G ` i ) pred ( y , A , R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   u. cun 3572   {csn 4177   <.cop 4183   U_ciun 4520   suc csuc 5725   ` cfv 5888   omcom 7065   predc-bnj14 30754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  bnj965  31012