Theorem bnj1143 30861

Description: First-order logic and set theory. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bnj1143	|- U_ x e. A B C_ B

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem bnj1143

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iun 4522	. . . 4 |- U_ x e. A B = { y | E. x e. A y e. B }
2		notnotb 304	. . . . . . . 8 |- ( A = (/) <-> -. -. A = (/) )
3		neq0 3930	. . . . . . . 8 |- ( -. A = (/) <-> E. x x e. A )
4	2, 3	xchbinx 324	. . . . . . 7 |- ( A = (/) <-> -. E. x x e. A )
5		df-rex 2918	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. A z e. B <-> E. x ( x e. A /\ z e. B ) )
6		exsimpl 1795	. . . . . . . . 9 |- ( E. x ( x e. A /\ z e. B ) -> E. x x e. A )
7	5, 6	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. A z e. B -> E. x x e. A )
8	7	con3i 150	. . . . . . 7 |- ( -. E. x x e. A -> -. E. x e. A z e. B )
9	4, 8	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> -. E. x e. A z e. B )
10	9	alrimiv 1855	. . . . 5 |- ( A = (/) -> A. z -. E. x e. A z e. B )
11		notnotb 304	. . . . . . 7 |- ( { y | E. x e. A y e. B } = (/) <-> -. -. { y | E. x e. A y e. B } = (/) )
12		neq0 3930	. . . . . . . 8 |- ( -. U_ x e. A B = (/) <-> E. z z e. U_ x e. A B )
13	1	eqeq1i 2627	. . . . . . . . 9 |- ( U_ x e. A B = (/) <-> { y | E. x e. A y e. B } = (/) )
14	13	notbii 310	. . . . . . . 8 |- ( -. U_ x e. A B = (/) <-> -. { y | E. x e. A y e. B } = (/) )
15		df-iun 4522	. . . . . . . . . 10 |- U_ x e. A B = { z | E. x e. A z e. B }
16	15	eleq2i 2693	. . . . . . . . 9 |- ( z e. U_ x e. A B <-> z e. { z | E. x e. A z e. B } )
17	16	exbii 1774	. . . . . . . 8 |- ( E. z z e. U_ x e. A B <-> E. z z e. { z | E. x e. A z e. B } )
18	12, 14, 17	3bitr3i 290	. . . . . . 7 |- ( -. { y | E. x e. A y e. B } = (/) <-> E. z z e. { z | E. x e. A z e. B } )
19	11, 18	xchbinx 324	. . . . . 6 |- ( { y | E. x e. A y e. B } = (/) <-> -. E. z z e. { z | E. x e. A z e. B } )
20		alnex 1706	. . . . . 6 |- ( A. z -. z e. { z | E. x e. A z e. B } <-> -. E. z z e. { z | E. x e. A z e. B } )
21		abid 2610	. . . . . . . 8 |- ( z e. { z | E. x e. A z e. B } <-> E. x e. A z e. B )
22	21	notbii 310	. . . . . . 7 |- ( -. z e. { z | E. x e. A z e. B } <-> -. E. x e. A z e. B )
23	22	albii 1747	. . . . . 6 |- ( A. z -. z e. { z | E. x e. A z e. B } <-> A. z -. E. x e. A z e. B )
24	19, 20, 23	3bitr2i 288	. . . . 5 |- ( { y | E. x e. A y e. B } = (/) <-> A. z -. E. x e. A z e. B )
25	10, 24	sylibr 224	. . . 4 |- ( A = (/) -> { y | E. x e. A y e. B } = (/) )
26	1, 25	syl5eq 2668	. . 3 |- ( A = (/) -> U_ x e. A B = (/) )
27		0ss 3972	. . 3 |- (/) C_ B
28	26, 27	syl6eqss 3655	. 2 |- ( A = (/) -> U_ x e. A B C_ B )
29		iunconst 4529	. . 3 |- ( A =/= (/) -> U_ x e. A B = B )
30		eqimss 3657	. . 3 |- ( U_ x e. A B = B -> U_ x e. A B C_ B )
31	29, 30	syl 17	. 2 |- ( A =/= (/) -> U_ x e. A B C_ B )
32	28, 31	pm2.61ine 2877	1 |- U_ x e. A B C_ B

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-iun 4522

This theorem is referenced by:  bnj1146  30862  bnj1145  31061  bnj1136  31065