Theorem bnj1185 30864

Description: First-order logic and set theory. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
bnj1185.1	|- ( ph -> E. z e. B A. w e. B -. w R z )

Assertion

Ref	Expression
bnj1185	|- ( ph -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )

Distinct variable groups:   w, B, y, z   x, B, y, z   w, R, y, z   x, R

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)

Proof of Theorem bnj1185

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj1185.1	. . 3 |- ( ph -> E. z e. B A. w e. B -. w R z )
2		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( w R z <-> y R z ) )
3	2	notbid 308	. . . . 5 |- ( w = y -> ( -. w R z <-> -. y R z ) )
4	3	cbvralv 3171	. . . 4 |- ( A. w e. B -. w R z <-> A. y e. B -. y R z )
5	4	rexbii 3041	. . 3 |- ( E. z e. B A. w e. B -. w R z <-> E. z e. B A. y e. B -. y R z )
6	1, 5	sylib 208	. 2 |- ( ph -> E. z e. B A. y e. B -. y R z )
7		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( z = x -> ( z e. B <-> x e. B ) )
8		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( y R z <-> y R x ) )
9	8	notbid 308	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( -. y R z <-> -. y R x ) )
10	9	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( z = x -> ( A. y e. B -. y R z <-> A. y e. B -. y R x ) )
11	7, 10	anbi12d 747	. . . 4 |- ( z = x -> ( ( z e. B /\ A. y e. B -. y R z ) <-> ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) ) )
12	11	cbvexv 2275	. . 3 |- ( E. z ( z e. B /\ A. y e. B -. y R z ) <-> E. x ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) )
13		df-rex 2918	. . 3 |- ( E. z e. B A. y e. B -. y R z <-> E. z ( z e. B /\ A. y e. B -. y R z ) )
14		df-rex 2918	. . 3 |- ( E. x e. B A. y e. B -. y R x <-> E. x ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) )
15	12, 13, 14	3bitr4ri 293	. 2 |- ( E. x e. B A. y e. B -. y R x <-> E. z e. B A. y e. B -. y R z )
16	6, 15	sylibr 224	1 |- ( ph -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654

This theorem is referenced by:  bnj1190  31076  bnj1189  31077