Theorem bnj1189 31077

Description: Technical lemma for bnj69 31078. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj1189.1	|- ( ph <-> ( R FrSe A /\ B C_ A /\ B =/= (/) ) )
bnj1189.2	|- ( ps <-> ( x e. B /\ y e. B /\ y R x ) )
bnj1189.3	|- ( ch <-> A. y e. B -. y R x )

Assertion

Ref	Expression
bnj1189	|- ( ph -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, R, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ps( x, y)   ch( x, y)   A( x, y)

Proof of Theorem bnj1189

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj1189.1	. . . . . 6 |- ( ph <-> ( R FrSe A /\ B C_ A /\ B =/= (/) ) )
2		n0 3931	. . . . . . 7 |- ( B =/= (/) <-> E. x x e. B )
3	2	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( B =/= (/) -> E. x x e. B )
4	1, 3	bnj837 30831	. . . . 5 |- ( ph -> E. x x e. B )
5	4	ancli 574	. . . 4 |- ( ph -> ( ph /\ E. x x e. B ) )
6		19.42v 1918	. . . 4 |- ( E. x ( ph /\ x e. B ) <-> ( ph /\ E. x x e. B ) )
7	5, 6	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> E. x ( ph /\ x e. B ) )
8		3simpc 1060	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B /\ ch ) -> ( x e. B /\ ch ) )
9		bnj1189.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ch <-> A. y e. B -. y R x )
10	9	anbi2i 730	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. B /\ ch ) <-> ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) )
11	8, 10	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B /\ ch ) -> ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) )
12		19.8a 2052	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) -> E. x ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B /\ ch ) -> E. x ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) )
14		df-rex 2918	. . . . . . 7 |- ( E. x e. B A. y e. B -. y R x <-> E. x ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) )
15	13, 14	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B /\ ch ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
16	15	3comr 1273	. . . . 5 |- ( ( ch /\ ph /\ x e. B ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
17	16	3expib 1268	. . . 4 |- ( ch -> ( ( ph /\ x e. B ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x ) )
18		simp1 1061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> ph )
19		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> x e. B )
20		rexnal 2995	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. y e. B -. -. y R x <-> -. A. y e. B -. y R x )
21	20	bicomi 214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. A. y e. B -. y R x <-> E. y e. B -. -. y R x )
22	21, 9	xchnxbir 323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ch <-> E. y e. B -. -. y R x )
23		notnotb 304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y R x <-> -. -. y R x )
24	23	rexbii 3041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. y e. B y R x <-> E. y e. B -. -. y R x )
25	22, 24	bitr4i 267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ch <-> E. y e. B y R x )
26	25	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ch -> E. y e. B y R x )
27	26	bnj1196 30865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ch -> E. y ( y e. B /\ y R x ) )
28	27	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> E. y ( y e. B /\ y R x ) )
29		3anass 1042	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. B /\ y e. B /\ y R x ) <-> ( x e. B /\ ( y e. B /\ y R x ) ) )
30	29	exbii 1774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. y ( x e. B /\ y e. B /\ y R x ) <-> E. y ( x e. B /\ ( y e. B /\ y R x ) ) )
31		19.42v 1918	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. y ( x e. B /\ ( y e. B /\ y R x ) ) <-> ( x e. B /\ E. y ( y e. B /\ y R x ) ) )
32	30, 31	bitri 264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y ( x e. B /\ y e. B /\ y R x ) <-> ( x e. B /\ E. y ( y e. B /\ y R x ) ) )
33	19, 28, 32	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> E. y ( x e. B /\ y e. B /\ y R x ) )
34		bnj1189.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ps <-> ( x e. B /\ y e. B /\ y R x ) )
35	33, 34	bnj1198 30866	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> E. y ps )
36		19.42v 1918	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y ( ph /\ ps ) <-> ( ph /\ E. y ps ) )
37	18, 35, 36	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> E. y ( ph /\ ps ) )
38	1, 34	bnj1190 31076	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. w e. B A. z e. B -. z R w )
39	37, 38	bnj593 30815	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> E. y E. w e. B A. z e. B -. z R w )
40	39	bnj937 30842	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> E. w e. B A. z e. B -. z R w )
41	40	bnj1185 30864	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
42	41	3comr 1273	. . . . 5 |- ( ( -. ch /\ ph /\ x e. B ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
43	42	3expib 1268	. . . 4 |- ( -. ch -> ( ( ph /\ x e. B ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x ) )
44	17, 43	pm2.61i 176	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
45	7, 44	bnj593 30815	. 2 |- ( ph -> E. x E. x e. B A. y e. B -. y R x )
46		nfre1 3005	. . 3 |- F/ x E. x e. B A. y e. B -. y R x
47	46	19.9 2072	. 2 |- ( E. x E. x e. B A. y e. B -. y R x <-> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
48	45, 47	sylib 208	1 |- ( ph -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   FrSe w-bnj15 30758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-bnj17 30753  df-bnj14 30755  df-bnj13 30757  df-bnj15 30759  df-bnj18 30761  df-bnj19 30763

This theorem is referenced by:  bnj69  31078