Theorem bnj92 30932

Description: First-order logic and set theory. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj92.1	|- ( ps <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
bnj92.2	|- Z e. _V

Assertion

Ref	Expression
bnj92	|- ( [. Z / n ]. ps <-> A. i e. om ( suc i e. Z -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   R, n   i, Z   f, n   i, n   y, n

Allowed substitution hints:   ps( y, f, i, n)   A( y, f, i)   R( y, f, i)   Z( y, f, n)

Proof of Theorem bnj92

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj92.1	. . 3 |- ( ps <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
2	1	sbcbii 3491	. 2 |- ( [. Z / n ]. ps <-> [. Z / n ]. A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
3		bnj92.2	. . 3 |- Z e. _V
4	3	bnj538 30809	. 2 |- ( [. Z / n ]. A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> A. i e. om [. Z / n ]. ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
5		sbcimg 3477	. . . . 5 |- ( Z e. _V -> ( [. Z / n ]. ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> ( [. Z / n ]. suc i e. n -> [. Z / n ]. ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
6	3, 5	ax-mp 5	. . . 4 |- ( [. Z / n ]. ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> ( [. Z / n ]. suc i e. n -> [. Z / n ]. ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
7		sbcel2gv 3496	. . . . . 6 |- ( Z e. _V -> ( [. Z / n ]. suc i e. n <-> suc i e. Z ) )
8	3, 7	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( [. Z / n ]. suc i e. n <-> suc i e. Z )
9	3	bnj525 30807	. . . . 5 |- ( [. Z / n ]. ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) <-> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) )
10	8, 9	imbi12i 340	. . . 4 |- ( ( [. Z / n ]. suc i e. n -> [. Z / n ]. ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> ( suc i e. Z -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
11	6, 10	bitri 264	. . 3 |- ( [. Z / n ]. ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> ( suc i e. Z -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
12	11	ralbii 2980	. 2 |- ( A. i e. om [. Z / n ]. ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> A. i e. om ( suc i e. Z -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
13	2, 4, 12	3bitri 286	1 |- ( [. Z / n ]. ps <-> A. i e. om ( suc i e. Z -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   U_ciun 4520   suc csuc 5725   ` cfv 5888   omcom 7065   predc-bnj14 30754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-v 3202  df-sbc 3436

This theorem is referenced by:  bnj106  30938  bnj153  30950