Theorem bnj106 30938

Description: First-order logic and set theory. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj106.1	|- ( ps <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
bnj106.2	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
bnj106	|- ( [. F / f ]. [. 1o / n ]. ps <-> A. i e. om ( suc i e. 1o -> ( F ` suc i ) = U_ y e. ( F ` i ) pred ( y , A , R ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, n   f, F, i, y   R, f, n   i, n, y

Allowed substitution hints:   ps( y, f, i, n)   A( y, i)   R( y, i)   F( n)

Proof of Theorem bnj106

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj106.1	. . . 4 |- ( ps <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
2		bnj105 30790	. . . 4 |- 1o e. _V
3	1, 2	bnj92 30932	. . 3 |- ( [. 1o / n ]. ps <-> A. i e. om ( suc i e. 1o -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
4	3	sbcbii 3491	. 2 |- ( [. F / f ]. [. 1o / n ]. ps <-> [. F / f ]. A. i e. om ( suc i e. 1o -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
5		bnj106.2	. . 3 |- F e. _V
6		fveq1 6190	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( f ` suc i ) = ( F ` suc i ) )
7		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( f ` i ) = ( F ` i ) )
8	7	bnj1113 30856	. . . . . 6 |- ( f = F -> U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) = U_ y e. ( F ` i ) pred ( y , A , R ) )
9	6, 8	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( f = F -> ( ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) <-> ( F ` suc i ) = U_ y e. ( F ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
10	9	imbi2d 330	. . . 4 |- ( f = F -> ( ( suc i e. 1o -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> ( suc i e. 1o -> ( F ` suc i ) = U_ y e. ( F ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
11	10	ralbidv 2986	. . 3 |- ( f = F -> ( A. i e. om ( suc i e. 1o -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> A. i e. om ( suc i e. 1o -> ( F ` suc i ) = U_ y e. ( F ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
12	5, 11	sbcie 3470	. 2 |- ( [. F / f ]. A. i e. om ( suc i e. 1o -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> A. i e. om ( suc i e. 1o -> ( F ` suc i ) = U_ y e. ( F ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
13	4, 12	bitri 264	1 |- ( [. F / f ]. [. 1o / n ]. ps <-> A. i e. om ( suc i e. 1o -> ( F ` suc i ) = U_ y e. ( F ` i ) pred ( y , A , R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   U_ciun 4520   suc csuc 5725   ` cfv 5888   omcom 7065   1oc1o 7553   predc-bnj14 30754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-pw 4160  df-sn 4178  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fv 5896  df-1o 7560

This theorem is referenced by:  bnj126  30943