Theorem bnj983 31021

Description: Technical lemma for bnj69 31078. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj983.1	|- ( ph <-> ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
bnj983.2	|- ( ps <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
bnj983.3	|- D = ( om \ { (/) } )
bnj983.4	|- B = { f | E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) }
bnj983.5	|- ( ch <-> ( n e. D /\ f Fn n /\ ph /\ ps ) )

Assertion

Ref	Expression
bnj983	|- ( Z e. trCl ( X , A , R ) <-> E. f E. n E. i ( ch /\ i e. n /\ Z e. ( f ` i ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, i, n, y   D, i   R, f, i, n, y   f, X, i, n, y   f, Z, i, n   ph, i

Allowed substitution hints:   ph( y, f, n)   ps( y, f, i, n)   ch( y, f, i, n)   B( y, f, i, n)   D( y, f, n)   Z( y)

Proof of Theorem bnj983

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj983.1	. . . . . . . 8 |- ( ph <-> ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
2		bnj983.2	. . . . . . . 8 |- ( ps <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
3		bnj983.3	. . . . . . . 8 |- D = ( om \ { (/) } )
4		bnj983.4	. . . . . . . 8 |- B = { f | E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) }
5	1, 2, 3, 4	bnj882 30996	. . . . . . 7 |- trCl ( X , A , R ) = U_ f e. B U_ i e. dom f ( f ` i )
6	5	eleq2i 2693	. . . . . 6 |- ( Z e. trCl ( X , A , R ) <-> Z e. U_ f e. B U_ i e. dom f ( f ` i ) )
7		eliun 4524	. . . . . . 7 |- ( Z e. U_ f e. B U_ i e. dom f ( f ` i ) <-> E. f e. B Z e. U_ i e. dom f ( f ` i ) )
8		eliun 4524	. . . . . . . 8 |- ( Z e. U_ i e. dom f ( f ` i ) <-> E. i e. dom f Z e. ( f ` i ) )
9	8	rexbii 3041	. . . . . . 7 |- ( E. f e. B Z e. U_ i e. dom f ( f ` i ) <-> E. f e. B E. i e. dom f Z e. ( f ` i ) )
10	7, 9	bitri 264	. . . . . 6 |- ( Z e. U_ f e. B U_ i e. dom f ( f ` i ) <-> E. f e. B E. i e. dom f Z e. ( f ` i ) )
11		df-rex 2918	. . . . . . 7 |- ( E. f e. B E. i e. dom f Z e. ( f ` i ) <-> E. f ( f e. B /\ E. i e. dom f Z e. ( f ` i ) ) )
12	4	abeq2i 2735	. . . . . . . . 9 |- ( f e. B <-> E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) )
13	12	anbi1i 731	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. B /\ E. i e. dom f Z e. ( f ` i ) ) <-> ( E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ E. i e. dom f Z e. ( f ` i ) ) )
14	13	exbii 1774	. . . . . . 7 |- ( E. f ( f e. B /\ E. i e. dom f Z e. ( f ` i ) ) <-> E. f ( E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ E. i e. dom f Z e. ( f ` i ) ) )
15	11, 14	bitri 264	. . . . . 6 |- ( E. f e. B E. i e. dom f Z e. ( f ` i ) <-> E. f ( E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ E. i e. dom f Z e. ( f ` i ) ) )
16	6, 10, 15	3bitri 286	. . . . 5 |- ( Z e. trCl ( X , A , R ) <-> E. f ( E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ E. i e. dom f Z e. ( f ` i ) ) )
17		bnj983.5	. . . . . . . . 9 |- ( ch <-> ( n e. D /\ f Fn n /\ ph /\ ps ) )
18		bnj252 30769	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. D /\ f Fn n /\ ph /\ ps ) <-> ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) )
19	17, 18	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( ch <-> ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) )
20	19	exbii 1774	. . . . . . 7 |- ( E. n ch <-> E. n ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) )
21	20	anbi1i 731	. . . . . 6 |- ( ( E. n ch /\ E. i ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) ) <-> ( E. n ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) /\ E. i ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) ) )
22		df-rex 2918	. . . . . . 7 |- ( E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) <-> E. n ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) )
23		df-rex 2918	. . . . . . 7 |- ( E. i e. dom f Z e. ( f ` i ) <-> E. i ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) )
24	22, 23	anbi12i 733	. . . . . 6 |- ( ( E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ E. i e. dom f Z e. ( f ` i ) ) <-> ( E. n ( n e. D /\ ( f Fn n /\ ph /\ ps ) ) /\ E. i ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) ) )
25	21, 24	bitr4i 267	. . . . 5 |- ( ( E. n ch /\ E. i ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) ) <-> ( E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) /\ E. i e. dom f Z e. ( f ` i ) ) )
26	16, 25	bnj133 30793	. . . 4 |- ( Z e. trCl ( X , A , R ) <-> E. f ( E. n ch /\ E. i ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) ) )
27		19.41v 1914	. . . 4 |- ( E. n ( ch /\ E. i ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) ) <-> ( E. n ch /\ E. i ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) ) )
28	26, 27	bnj133 30793	. . 3 |- ( Z e. trCl ( X , A , R ) <-> E. f E. n ( ch /\ E. i ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) ) )
29	2	bnj1095 30852	. . . . . . 7 |- ( ps -> A. i ps )
30	29, 17	bnj1096 30853	. . . . . 6 |- ( ch -> A. i ch )
31	30	nf5i 2024	. . . . 5 |- F/ i ch
32	31	19.42 2105	. . . 4 |- ( E. i ( ch /\ ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) ) <-> ( ch /\ E. i ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) ) )
33	32	2exbii 1775	. . 3 |- ( E. f E. n E. i ( ch /\ ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) ) <-> E. f E. n ( ch /\ E. i ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) ) )
34	28, 33	bitr4i 267	. 2 |- ( Z e. trCl ( X , A , R ) <-> E. f E. n E. i ( ch /\ ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) ) )
35		3anass 1042	. . 3 |- ( ( ch /\ i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) <-> ( ch /\ ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) ) )
36	35	3exbii 1776	. 2 |- ( E. f E. n E. i ( ch /\ i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) <-> E. f E. n E. i ( ch /\ ( i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) ) )
37		fndm 5990	. . . . . . . 8 |- ( f Fn n -> dom f = n )
38	17, 37	bnj770 30833	. . . . . . 7 |- ( ch -> dom f = n )
39		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( dom f = n -> ( i e. dom f <-> i e. n ) )
40	39	3anbi2d 1404	. . . . . . 7 |- ( dom f = n -> ( ( ch /\ i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) <-> ( ch /\ i e. n /\ Z e. ( f ` i ) ) ) )
41	38, 40	syl 17	. . . . . 6 |- ( ch -> ( ( ch /\ i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) <-> ( ch /\ i e. n /\ Z e. ( f ` i ) ) ) )
42	41	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( ch /\ i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) -> ( ( ch /\ i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) <-> ( ch /\ i e. n /\ Z e. ( f ` i ) ) ) )
43	42	ibi 256	. . . 4 |- ( ( ch /\ i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) -> ( ch /\ i e. n /\ Z e. ( f ` i ) ) )
44	41	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( ch /\ i e. n /\ Z e. ( f ` i ) ) -> ( ( ch /\ i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) <-> ( ch /\ i e. n /\ Z e. ( f ` i ) ) ) )
45	44	ibir 257	. . . 4 |- ( ( ch /\ i e. n /\ Z e. ( f ` i ) ) -> ( ch /\ i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) )
46	43, 45	impbii 199	. . 3 |- ( ( ch /\ i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) <-> ( ch /\ i e. n /\ Z e. ( f ` i ) ) )
47	46	3exbii 1776	. 2 |- ( E. f E. n E. i ( ch /\ i e. dom f /\ Z e. ( f ` i ) ) <-> E. f E. n E. i ( ch /\ i e. n /\ Z e. ( f ` i ) ) )
48	34, 36, 47	3bitr2i 288	1 |- ( Z e. trCl ( X , A , R ) <-> E. f E. n E. i ( ch /\ i e. n /\ Z e. ( f ` i ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   (/)c0 3915   {csn 4177   U_ciun 4520   dom cdm 5114   suc csuc 5725   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   omcom 7065   /\ w-bnj17 30752   predc-bnj14 30754   trClc-bnj18 30760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-iun 4522  df-fn 5891  df-bnj17 30753  df-bnj18 30761

This theorem is referenced by:  bnj1033  31037