Theorem csbuni 4466

Description: Distribute proper substitution through the union of a class. (Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012.) (Revised by NM, 22-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
csbuni	|- [_ A / x ]_ U. B = U. [_ A / x ]_ B

Proof of Theorem csbuni

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbab 4008	. . . 4 |- [_ A / x ]_ { z | E. y ( z e. y /\ y e. B ) } = { z | [. A / x ]. E. y ( z e. y /\ y e. B ) }
2		sbcex2 3486	. . . . . 6 |- ( [. A / x ]. E. y ( z e. y /\ y e. B ) <-> E. y [. A / x ]. ( z e. y /\ y e. B ) )
3		sbcan 3478	. . . . . . . 8 |- ( [. A / x ]. ( z e. y /\ y e. B ) <-> ( [. A / x ]. z e. y /\ [. A / x ]. y e. B ) )
4		sbcg 3503	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. _V -> ( [. A / x ]. z e. y <-> z e. y ) )
5	4	anbi1d 741	. . . . . . . . 9 |- ( A e. _V -> ( ( [. A / x ]. z e. y /\ [. A / x ]. y e. B ) <-> ( z e. y /\ [. A / x ]. y e. B ) ) )
6		sbcel2 3989	. . . . . . . . . 10 |- ( [. A / x ]. y e. B <-> y e. [_ A / x ]_ B )
7	6	anbi2i 730	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. y /\ [. A / x ]. y e. B ) <-> ( z e. y /\ y e. [_ A / x ]_ B ) )
8	5, 7	syl6bb 276	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> ( ( [. A / x ]. z e. y /\ [. A / x ]. y e. B ) <-> ( z e. y /\ y e. [_ A / x ]_ B ) ) )
9	3, 8	syl5bb 272	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> ( [. A / x ]. ( z e. y /\ y e. B ) <-> ( z e. y /\ y e. [_ A / x ]_ B ) ) )
10	9	exbidv 1850	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( E. y [. A / x ]. ( z e. y /\ y e. B ) <-> E. y ( z e. y /\ y e. [_ A / x ]_ B ) ) )
11	2, 10	syl5bb 272	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( [. A / x ]. E. y ( z e. y /\ y e. B ) <-> E. y ( z e. y /\ y e. [_ A / x ]_ B ) ) )
12	11	abbidv 2741	. . . 4 |- ( A e. _V -> { z | [. A / x ]. E. y ( z e. y /\ y e. B ) } = { z | E. y ( z e. y /\ y e. [_ A / x ]_ B ) } )
13	1, 12	syl5eq 2668	. . 3 |- ( A e. _V -> [_ A / x ]_ { z | E. y ( z e. y /\ y e. B ) } = { z | E. y ( z e. y /\ y e. [_ A / x ]_ B ) } )
14		df-uni 4437	. . . 4 |- U. B = { z | E. y ( z e. y /\ y e. B ) }
15	14	csbeq2i 3993	. . 3 |- [_ A / x ]_ U. B = [_ A / x ]_ { z | E. y ( z e. y /\ y e. B ) }
16		df-uni 4437	. . 3 |- U. [_ A / x ]_ B = { z | E. y ( z e. y /\ y e. [_ A / x ]_ B ) }
17	13, 15, 16	3eqtr4g 2681	. 2 |- ( A e. _V -> [_ A / x ]_ U. B = U. [_ A / x ]_ B )
18		csbprc 3980	. . 3 |- ( -. A e. _V -> [_ A / x ]_ U. B = (/) )
19		csbprc 3980	. . . . 5 |- ( -. A e. _V -> [_ A / x ]_ B = (/) )
20	19	unieqd 4446	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> U. [_ A / x ]_ B = U. (/) )
21		uni0 4465	. . . 4 |- U. (/) = (/)
22	20, 21	syl6req 2673	. . 3 |- ( -. A e. _V -> (/) = U. [_ A / x ]_ B )
23	18, 22	eqtrd 2656	. 2 |- ( -. A e. _V -> [_ A / x ]_ U. B = U. [_ A / x ]_ B )
24	17, 23	pm2.61i 176	1 |- [_ A / x ]_ U. B = U. [_ A / x ]_ B

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   [_csb 3533   (/)c0 3915   U.cuni 4436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-sn 4178  df-uni 4437

This theorem is referenced by:  csbwrecsg  33173  csbfv12gALTOLD  39052  csbfv12gALTVD  39135