Theorem dford3lem1 37593

Description: Lemma for dford3 37595. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dford3lem1	|- ( ( Tr N /\ A. y e. N Tr y ) -> A. b e. N ( Tr b /\ A. y e. b Tr y ) )

Distinct variable group:   y, b, N

Proof of Theorem dford3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		treq 4758	. . . . 5 |- ( y = b -> ( Tr y <-> Tr b ) )
2	1	cbvralv 3171	. . . 4 |- ( A. y e. N Tr y <-> A. b e. N Tr b )
3	2	biimpi 206	. . 3 |- ( A. y e. N Tr y -> A. b e. N Tr b )
4	3	adantl 482	. 2 |- ( ( Tr N /\ A. y e. N Tr y ) -> A. b e. N Tr b )
5		trss 4761	. . . . . 6 |- ( Tr N -> ( b e. N -> b C_ N ) )
6		ssralv 3666	. . . . . 6 |- ( b C_ N -> ( A. y e. N Tr y -> A. y e. b Tr y ) )
7	5, 6	syl6 35	. . . . 5 |- ( Tr N -> ( b e. N -> ( A. y e. N Tr y -> A. y e. b Tr y ) ) )
8	7	com23 86	. . . 4 |- ( Tr N -> ( A. y e. N Tr y -> ( b e. N -> A. y e. b Tr y ) ) )
9	8	imp 445	. . 3 |- ( ( Tr N /\ A. y e. N Tr y ) -> ( b e. N -> A. y e. b Tr y ) )
10	9	ralrimiv 2965	. 2 |- ( ( Tr N /\ A. y e. N Tr y ) -> A. b e. N A. y e. b Tr y )
11		r19.26 3064	. 2 |- ( A. b e. N ( Tr b /\ A. y e. b Tr y ) <-> ( A. b e. N Tr b /\ A. b e. N A. y e. b Tr y ) )
12	4, 10, 11	sylanbrc 698	1 |- ( ( Tr N /\ A. y e. N Tr y ) -> A. b e. N ( Tr b /\ A. y e. b Tr y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   Tr wtr 4752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-in 3581  df-ss 3588  df-uni 4437  df-tr 4753

This theorem is referenced by:  dford3lem2  37594  dford3  37595