Theorem dford3lem2 37594

Description: Lemma for dford3 37595. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dford3lem2	|- ( ( Tr x /\ A. y e. x Tr y ) -> x e. On )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem dford3lem2

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suctr 5808	. . . 4 |- ( Tr x -> Tr suc x )
2		vex 3203	. . . . 5 |- x e. _V
3	2	sucid 5804	. . . 4 |- x e. suc x
4	2	sucex 7011	. . . . 5 |- suc x e. _V
5		treq 4758	. . . . . 6 |- ( c = suc x -> ( Tr c <-> Tr suc x ) )
6		eleq2 2690	. . . . . 6 |- ( c = suc x -> ( x e. c <-> x e. suc x ) )
7	5, 6	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( c = suc x -> ( ( Tr c /\ x e. c ) <-> ( Tr suc x /\ x e. suc x ) ) )
8	4, 7	spcev 3300	. . . 4 |- ( ( Tr suc x /\ x e. suc x ) -> E. c ( Tr c /\ x e. c ) )
9	1, 3, 8	sylancl 694	. . 3 |- ( Tr x -> E. c ( Tr c /\ x e. c ) )
10	9	adantr 481	. 2 |- ( ( Tr x /\ A. y e. x Tr y ) -> E. c ( Tr c /\ x e. c ) )
11		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( A. b e. a ( ( Tr b /\ A. y e. b Tr y ) -> b e. On ) /\ ( Tr a /\ A. y e. a Tr y ) ) -> Tr a )
12		dford3lem1 37593	. . . . . . . . 9 |- ( ( Tr a /\ A. y e. a Tr y ) -> A. b e. a ( Tr b /\ A. y e. b Tr y ) )
13		ralim 2948	. . . . . . . . 9 |- ( A. b e. a ( ( Tr b /\ A. y e. b Tr y ) -> b e. On ) -> ( A. b e. a ( Tr b /\ A. y e. b Tr y ) -> A. b e. a b e. On ) )
14	12, 13	syl5 34	. . . . . . . 8 |- ( A. b e. a ( ( Tr b /\ A. y e. b Tr y ) -> b e. On ) -> ( ( Tr a /\ A. y e. a Tr y ) -> A. b e. a b e. On ) )
15	14	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( A. b e. a ( ( Tr b /\ A. y e. b Tr y ) -> b e. On ) /\ ( Tr a /\ A. y e. a Tr y ) ) -> A. b e. a b e. On )
16		dfss3 3592	. . . . . . 7 |- ( a C_ On <-> A. b e. a b e. On )
17	15, 16	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( A. b e. a ( ( Tr b /\ A. y e. b Tr y ) -> b e. On ) /\ ( Tr a /\ A. y e. a Tr y ) ) -> a C_ On )
18		ordon 6982	. . . . . . 7 |- Ord On
19	18	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A. b e. a ( ( Tr b /\ A. y e. b Tr y ) -> b e. On ) /\ ( Tr a /\ A. y e. a Tr y ) ) -> Ord On )
20		trssord 5740	. . . . . 6 |- ( ( Tr a /\ a C_ On /\ Ord On ) -> Ord a )
21	11, 17, 19, 20	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( A. b e. a ( ( Tr b /\ A. y e. b Tr y ) -> b e. On ) /\ ( Tr a /\ A. y e. a Tr y ) ) -> Ord a )
22		vex 3203	. . . . . 6 |- a e. _V
23	22	elon 5732	. . . . 5 |- ( a e. On <-> Ord a )
24	21, 23	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( A. b e. a ( ( Tr b /\ A. y e. b Tr y ) -> b e. On ) /\ ( Tr a /\ A. y e. a Tr y ) ) -> a e. On )
25	24	ex 450	. . 3 |- ( A. b e. a ( ( Tr b /\ A. y e. b Tr y ) -> b e. On ) -> ( ( Tr a /\ A. y e. a Tr y ) -> a e. On ) )
26		treq 4758	. . . . 5 |- ( a = b -> ( Tr a <-> Tr b ) )
27		raleq 3138	. . . . 5 |- ( a = b -> ( A. y e. a Tr y <-> A. y e. b Tr y ) )
28	26, 27	anbi12d 747	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( Tr a /\ A. y e. a Tr y ) <-> ( Tr b /\ A. y e. b Tr y ) ) )
29		eleq1 2689	. . . 4 |- ( a = b -> ( a e. On <-> b e. On ) )
30	28, 29	imbi12d 334	. . 3 |- ( a = b -> ( ( ( Tr a /\ A. y e. a Tr y ) -> a e. On ) <-> ( ( Tr b /\ A. y e. b Tr y ) -> b e. On ) ) )
31		treq 4758	. . . . 5 |- ( a = x -> ( Tr a <-> Tr x ) )
32		raleq 3138	. . . . 5 |- ( a = x -> ( A. y e. a Tr y <-> A. y e. x Tr y ) )
33	31, 32	anbi12d 747	. . . 4 |- ( a = x -> ( ( Tr a /\ A. y e. a Tr y ) <-> ( Tr x /\ A. y e. x Tr y ) ) )
34		eleq1 2689	. . . 4 |- ( a = x -> ( a e. On <-> x e. On ) )
35	33, 34	imbi12d 334	. . 3 |- ( a = x -> ( ( ( Tr a /\ A. y e. a Tr y ) -> a e. On ) <-> ( ( Tr x /\ A. y e. x Tr y ) -> x e. On ) ) )
36	25, 30, 35	setindtrs 37592	. 2 |- ( E. c ( Tr c /\ x e. c ) -> ( ( Tr x /\ A. y e. x Tr y ) -> x e. On ) )
37	10, 36	mpcom 38	1 |- ( ( Tr x /\ A. y e. x Tr y ) -> x e. On )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   Tr wtr 4752   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729

This theorem is referenced by:  dford3  37595