Theorem difelros 30235

Description: A ring of sets is closed under set complement. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
isros.1	|- Q = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( ( x u. y ) e. s /\ ( x \ y ) e. s ) ) }

Assertion

Ref	Expression
difelros	|- ( ( S e. Q /\ A e. S /\ B e. S ) -> ( A \ B ) e. S )

Distinct variable groups:   O, s   S, s, x, y

Allowed substitution hints:   A( x, y, s)   B( x, y, s)   Q( x, y, s)   O( x, y)

Proof of Theorem difelros

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1062	. . 3 |- ( ( S e. Q /\ A e. S /\ B e. S ) -> A e. S )
2		simp3 1063	. . 3 |- ( ( S e. Q /\ A e. S /\ B e. S ) -> B e. S )
3		isros.1	. . . . . 6 |- Q = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( ( x u. y ) e. s /\ ( x \ y ) e. s ) ) }
4	3	isros 30231	. . . . 5 |- ( S e. Q <-> ( S e. ~P ~P O /\ (/) e. S /\ A. u e. S A. v e. S ( ( u u. v ) e. S /\ ( u \ v ) e. S ) ) )
5	4	simp3bi 1078	. . . 4 |- ( S e. Q -> A. u e. S A. v e. S ( ( u u. v ) e. S /\ ( u \ v ) e. S ) )
6	5	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( S e. Q /\ A e. S /\ B e. S ) -> A. u e. S A. v e. S ( ( u u. v ) e. S /\ ( u \ v ) e. S ) )
7		uneq1 3760	. . . . . 6 |- ( u = A -> ( u u. v ) = ( A u. v ) )
8	7	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( u = A -> ( ( u u. v ) e. S <-> ( A u. v ) e. S ) )
9		difeq1 3721	. . . . . 6 |- ( u = A -> ( u \ v ) = ( A \ v ) )
10	9	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( u = A -> ( ( u \ v ) e. S <-> ( A \ v ) e. S ) )
11	8, 10	anbi12d 747	. . . 4 |- ( u = A -> ( ( ( u u. v ) e. S /\ ( u \ v ) e. S ) <-> ( ( A u. v ) e. S /\ ( A \ v ) e. S ) ) )
12		uneq2 3761	. . . . . 6 |- ( v = B -> ( A u. v ) = ( A u. B ) )
13	12	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( v = B -> ( ( A u. v ) e. S <-> ( A u. B ) e. S ) )
14		difeq2 3722	. . . . . 6 |- ( v = B -> ( A \ v ) = ( A \ B ) )
15	14	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( v = B -> ( ( A \ v ) e. S <-> ( A \ B ) e. S ) )
16	13, 15	anbi12d 747	. . . 4 |- ( v = B -> ( ( ( A u. v ) e. S /\ ( A \ v ) e. S ) <-> ( ( A u. B ) e. S /\ ( A \ B ) e. S ) ) )
17	11, 16	rspc2va 3323	. . 3 |- ( ( ( A e. S /\ B e. S ) /\ A. u e. S A. v e. S ( ( u u. v ) e. S /\ ( u \ v ) e. S ) ) -> ( ( A u. B ) e. S /\ ( A \ B ) e. S ) )
18	1, 2, 6, 17	syl21anc 1325	. 2 |- ( ( S e. Q /\ A e. S /\ B e. S ) -> ( ( A u. B ) e. S /\ ( A \ B ) e. S ) )
19	18	simprd 479	1 |- ( ( S e. Q /\ A e. S /\ B e. S ) -> ( A \ B ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   u. cun 3572   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579

This theorem is referenced by:  inelros  30236  rossros  30243