Theorem isros 30231

Description: The property of being a rings of sets, i.e. containing the empty set, and closed under finite union and set complement. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
isros.1	|- Q = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( ( x u. y ) e. s /\ ( x \ y ) e. s ) ) }

Assertion

Ref	Expression
isros	|- ( S e. Q <-> ( S e. ~P ~P O /\ (/) e. S /\ A. u e. S A. v e. S ( ( u u. v ) e. S /\ ( u \ v ) e. S ) ) )

Distinct variable groups:   v, u   O, s   S, s, u, v, x, y

Allowed substitution hints:   Q( x, y, v, u, s)   O( x, y, v, u)

Proof of Theorem isros

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2690	. . . 4 |- ( s = S -> ( (/) e. s <-> (/) e. S ) )
2		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( ( x u. y ) e. s <-> ( x u. y ) e. S ) )
3		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( ( x \ y ) e. s <-> ( x \ y ) e. S ) )
4	2, 3	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( ( ( x u. y ) e. s /\ ( x \ y ) e. s ) <-> ( ( x u. y ) e. S /\ ( x \ y ) e. S ) ) )
5	4	raleqbi1dv 3146	. . . . 5 |- ( s = S -> ( A. y e. s ( ( x u. y ) e. s /\ ( x \ y ) e. s ) <-> A. y e. S ( ( x u. y ) e. S /\ ( x \ y ) e. S ) ) )
6	5	raleqbi1dv 3146	. . . 4 |- ( s = S -> ( A. x e. s A. y e. s ( ( x u. y ) e. s /\ ( x \ y ) e. s ) <-> A. x e. S A. y e. S ( ( x u. y ) e. S /\ ( x \ y ) e. S ) ) )
7	1, 6	anbi12d 747	. . 3 |- ( s = S -> ( ( (/) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( ( x u. y ) e. s /\ ( x \ y ) e. s ) ) <-> ( (/) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( ( x u. y ) e. S /\ ( x \ y ) e. S ) ) ) )
8		isros.1	. . 3 |- Q = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( ( x u. y ) e. s /\ ( x \ y ) e. s ) ) }
9	7, 8	elrab2 3366	. 2 |- ( S e. Q <-> ( S e. ~P ~P O /\ ( (/) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( ( x u. y ) e. S /\ ( x \ y ) e. S ) ) ) )
10		3anass 1042	. 2 |- ( ( S e. ~P ~P O /\ (/) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( ( x u. y ) e. S /\ ( x \ y ) e. S ) ) <-> ( S e. ~P ~P O /\ ( (/) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( ( x u. y ) e. S /\ ( x \ y ) e. S ) ) ) )
11		uneq1 3760	. . . . . 6 |- ( x = u -> ( x u. y ) = ( u u. y ) )
12	11	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( x = u -> ( ( x u. y ) e. S <-> ( u u. y ) e. S ) )
13		difeq1 3721	. . . . . 6 |- ( x = u -> ( x \ y ) = ( u \ y ) )
14	13	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( x = u -> ( ( x \ y ) e. S <-> ( u \ y ) e. S ) )
15	12, 14	anbi12d 747	. . . 4 |- ( x = u -> ( ( ( x u. y ) e. S /\ ( x \ y ) e. S ) <-> ( ( u u. y ) e. S /\ ( u \ y ) e. S ) ) )
16		uneq2 3761	. . . . . 6 |- ( y = v -> ( u u. y ) = ( u u. v ) )
17	16	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( y = v -> ( ( u u. y ) e. S <-> ( u u. v ) e. S ) )
18		difeq2 3722	. . . . . 6 |- ( y = v -> ( u \ y ) = ( u \ v ) )
19	18	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( y = v -> ( ( u \ y ) e. S <-> ( u \ v ) e. S ) )
20	17, 19	anbi12d 747	. . . 4 |- ( y = v -> ( ( ( u u. y ) e. S /\ ( u \ y ) e. S ) <-> ( ( u u. v ) e. S /\ ( u \ v ) e. S ) ) )
21	15, 20	cbvral2v 3179	. . 3 |- ( A. x e. S A. y e. S ( ( x u. y ) e. S /\ ( x \ y ) e. S ) <-> A. u e. S A. v e. S ( ( u u. v ) e. S /\ ( u \ v ) e. S ) )
22	21	3anbi3i 1255	. 2 |- ( ( S e. ~P ~P O /\ (/) e. S /\ A. x e. S A. y e. S ( ( x u. y ) e. S /\ ( x \ y ) e. S ) ) <-> ( S e. ~P ~P O /\ (/) e. S /\ A. u e. S A. v e. S ( ( u u. v ) e. S /\ ( u \ v ) e. S ) ) )
23	9, 10, 22	3bitr2i 288	1 |- ( S e. Q <-> ( S e. ~P ~P O /\ (/) e. S /\ A. u e. S A. v e. S ( ( u u. v ) e. S /\ ( u \ v ) e. S ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   u. cun 3572   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579

This theorem is referenced by:  rossspw  30232  0elros  30233  unelros  30234  difelros  30235