Theorem difeq1 3721

Description: Equality theorem for class difference. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
difeq1	|- ( A = B -> ( A \ C ) = ( B \ C ) )

Proof of Theorem difeq1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabeq 3192	. 2 |- ( A = B -> { x e. A | -. x e. C } = { x e. B | -. x e. C } )
2		dfdif2 3583	. 2 |- ( A \ C ) = { x e. A | -. x e. C }
3		dfdif2 3583	. 2 |- ( B \ C ) = { x e. B | -. x e. C }
4	1, 2, 3	3eqtr4g 2681	1 |- ( A = B -> ( A \ C ) = ( B \ C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   \ cdif 3571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rab 2921  df-dif 3577

This theorem is referenced by:  difeq12  3723  difeq1i  3724  difeq1d  3727  symdifeq1  3846  uneqdifeq  4057  uneqdifeqOLD  4058  hartogslem1  8447  kmlem9  8980  kmlem11  8982  kmlem12  8983  isfin1a  9114  fin1a2lem13  9234  fundmge2nop0  13274  incexclem  14568  coprmprod  15375  coprmproddvds  15377  ismri  16291  f1otrspeq  17867  pmtrval  17871  pmtrfrn  17878  symgsssg  17887  symgfisg  17888  symggen  17890  psgnunilem1  17913  psgnunilem5  17914  psgneldm  17923  ablfac1eulem  18471  islbs  19076  lbsextlem1  19158  lbsextlem2  19159  lbsextlem3  19160  lbsextlem4  19161  zrhcofipsgn  19939  submafval  20385  m1detdiag  20403  lpval  20943  2ndcdisj  21259  isufil  21707  ptcmplem2  21857  mblsplit  23300  voliunlem3  23320  ig1pval  23932  nbgr2vtx1edg  26246  nbuhgr2vtx1edgb  26248  nbgr0vtx  26252  nb3grprlem2  26283  uvtxa01vtx0  26297  cplgr1v  26326  dfconngr1  27048  isconngr1  27050  isfrgr  27122  frgr1v  27135  nfrgr2v  27136  frgr3v  27139  1vwmgr  27140  3vfriswmgr  27142  difeq  29355  sigaval  30173  issiga  30174  issgon  30186  isros  30231  unelros  30234  difelros  30235  inelsros  30241  diffiunisros  30242  rossros  30243  inelcarsg  30373  carsgclctunlem2  30381  probun  30481  ballotlemgval  30585  cvmscbv  31240  cvmsi  31247  cvmsval  31248  poimirlem4  33413  sdrgacs  37771  dssmapfvd  38311  compne  38643  compneOLD  38644  dvmptfprod  40160  caragensplit  40714  vonvolmbllem  40874  vonvolmbl  40875  ldepsnlinc  42297