Theorem djhffval 36685

Description: Subspace join for DVecH vector space. (Contributed by NM, 19-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
djhval.h	|- H = ( LHyp ` K )

Assertion

Ref	Expression
djhffval	|- ( K e. X -> (joinH ` K ) = ( w e. H |-> ( x e. ~P ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) , y e. ~P ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |-> ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` x ) i^i ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` y ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, H   x, w, y, K

Allowed substitution hints:   H( x, y)   X( x, y, w)

Proof of Theorem djhffval

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3212	. 2 |- ( K e. X -> K e. _V )
2		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( k = K -> ( LHyp ` k ) = ( LHyp ` K ) )
3		djhval.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
4	2, 3	syl6eqr 2674	. . . 4 |- ( k = K -> ( LHyp ` k ) = H )
5		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( k = K -> ( DVecH ` k ) = ( DVecH ` K ) )
6	5	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( k = K -> ( ( DVecH ` k ) ` w ) = ( ( DVecH ` K ) ` w ) )
7	6	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( k = K -> ( Base ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) = ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) )
8	7	pweqd 4163	. . . . 5 |- ( k = K -> ~P ( Base ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) = ~P ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) )
9		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( k = K -> ( ocH ` k ) = ( ocH ` K ) )
10	9	fveq1d 6193	. . . . . 6 |- ( k = K -> ( ( ocH ` k ) ` w ) = ( ( ocH ` K ) ` w ) )
11	10	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( k = K -> ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` x ) = ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` x ) )
12	10	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( k = K -> ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` y ) = ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` y ) )
13	11, 12	ineq12d 3815	. . . . . 6 |- ( k = K -> ( ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` x ) i^i ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` y ) ) = ( ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` x ) i^i ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` y ) ) )
14	10, 13	fveq12d 6197	. . . . 5 |- ( k = K -> ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` ( ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` x ) i^i ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` y ) ) ) = ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` x ) i^i ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` y ) ) ) )
15	8, 8, 14	mpt2eq123dv 6717	. . . 4 |- ( k = K -> ( x e. ~P ( Base ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) , y e. ~P ( Base ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) |-> ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` ( ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` x ) i^i ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` y ) ) ) ) = ( x e. ~P ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) , y e. ~P ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |-> ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` x ) i^i ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` y ) ) ) ) )
16	4, 15	mpteq12dv 4733	. . 3 |- ( k = K -> ( w e. ( LHyp ` k ) |-> ( x e. ~P ( Base ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) , y e. ~P ( Base ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) |-> ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` ( ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` x ) i^i ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` y ) ) ) ) ) = ( w e. H |-> ( x e. ~P ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) , y e. ~P ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |-> ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` x ) i^i ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` y ) ) ) ) ) )
17		df-djh 36684	. . 3 |- joinH = ( k e. _V |-> ( w e. ( LHyp ` k ) |-> ( x e. ~P ( Base ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) , y e. ~P ( Base ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) |-> ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` ( ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` x ) i^i ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` y ) ) ) ) ) )
18		fvex 6201	. . . . 5 |- ( LHyp ` K ) e. _V
19	3, 18	eqeltri 2697	. . . 4 |- H e. _V
20	19	mptex 6486	. . 3 |- ( w e. H |-> ( x e. ~P ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) , y e. ~P ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |-> ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` x ) i^i ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` y ) ) ) ) ) e. _V
21	16, 17, 20	fvmpt 6282	. 2 |- ( K e. _V -> (joinH ` K ) = ( w e. H |-> ( x e. ~P ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) , y e. ~P ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |-> ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` x ) i^i ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` y ) ) ) ) ) )
22	1, 21	syl 17	1 |- ( K e. X -> (joinH ` K ) = ( w e. H |-> ( x e. ~P ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) , y e. ~P ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |-> ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` x ) i^i ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` y ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   ~Pcpw 4158   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888   |-> cmpt2 6652   Basecbs 15857   LHypclh 35270   DVecHcdvh 36367   ocHcoch 36636  joinHcdjh 36683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-djh 36684

This theorem is referenced by:  djhfval  36686