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Theorem dmrelrnrel 39419
Description: A relation preserving function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dmrelrnrel.x |- F/ x ph
dmrelrnrel.y |- F/ y ph
dmrelrnrel.i |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) )
dmrelrnrel.b |- ( ph -> B e. A )
dmrelrnrel.c |- ( ph -> C e. A )
dmrelrnrel.r |- ( ph -> B R C )
Assertion
Ref Expression
dmrelrnrel |- ( ph -> ( F ` B ) S ( F ` C ) )
Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   y, C   x, F, y   x, R, y   x, S, y
Allowed substitution hints:   ph( x, y)   C( x)
Proof of Theorem dmrelrnrel
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 |- ( ph -> ph )
2 dmrelrnrel.b . . 3 |- ( ph -> B e. A )
3 dmrelrnrel.c . . 3 |- ( ph -> C e. A )
41, 2, 3jca31 557 . 2 |- ( ph -> ( ( ph /\ B e. A ) /\ C e. A ) )
5 dmrelrnrel.r . 2 |- ( ph -> B R C )
6 nfv 1843 . . . . 5 |- F/ y B e. A
7 dmrelrnrel.y . . . . . . . 8 |- F/ y ph
87, 6nfan 1828 . . . . . . 7 |- F/ y ( ph /\ B e. A )
9 nfv 1843 . . . . . . 7 |- F/ y C e. A
108, 9nfan 1828 . . . . . 6 |- F/ y ( ( ph /\ B e. A ) /\ C e. A )
11 nfv 1843 . . . . . 6 |- F/ y ( B R C -> ( F ` B ) S ( F ` C ) )
1210, 11nfim 1825 . . . . 5 |- F/ y ( ( ( ph /\ B e. A ) /\ C e. A ) -> ( B R C -> ( F ` B ) S ( F ` C ) ) )
136, 12nfim 1825 . . . 4 |- F/ y ( B e. A -> ( ( ( ph /\ B e. A ) /\ C e. A ) -> ( B R C -> ( F ` B ) S ( F ` C ) ) ) )
14 eleq1 2689 . . . . . . 7 |- ( y = C -> ( y e. A <-> C e. A ) )
1514anbi2d 740 . . . . . 6 |- ( y = C -> ( ( ( ph /\ B e. A ) /\ y e. A ) <-> ( ( ph /\ B e. A ) /\ C e. A ) ) )
16 breq2 4657 . . . . . . 7 |- ( y = C -> ( B R y <-> B R C ) )
17 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( y = C -> ( F ` y ) = ( F ` C ) )
1817breq2d 4665 . . . . . . 7 |- ( y = C -> ( ( F ` B ) S ( F ` y ) <-> ( F ` B ) S ( F ` C ) ) )
1916, 18imbi12d 334 . . . . . 6 |- ( y = C -> ( ( B R y -> ( F ` B ) S ( F ` y ) ) <-> ( B R C -> ( F ` B ) S ( F ` C ) ) ) )
2015, 19imbi12d 334 . . . . 5 |- ( y = C -> ( ( ( ( ph /\ B e. A ) /\ y e. A ) -> ( B R y -> ( F ` B ) S ( F ` y ) ) ) <-> ( ( ( ph /\ B e. A ) /\ C e. A ) -> ( B R C -> ( F ` B ) S ( F ` C ) ) ) ) )
2120imbi2d 330 . . . 4 |- ( y = C -> ( ( B e. A -> ( ( ( ph /\ B e. A ) /\ y e. A ) -> ( B R y -> ( F ` B ) S ( F ` y ) ) ) ) <-> ( B e. A -> ( ( ( ph /\ B e. A ) /\ C e. A ) -> ( B R C -> ( F ` B ) S ( F ` C ) ) ) ) ) )
22 dmrelrnrel.x . . . . . . . 8 |- F/ x ph
23 nfv 1843 . . . . . . . 8 |- F/ x B e. A
2422, 23nfan 1828 . . . . . . 7 |- F/ x ( ph /\ B e. A )
25 nfv 1843 . . . . . . 7 |- F/ x y e. A
2624, 25nfan 1828 . . . . . 6 |- F/ x ( ( ph /\ B e. A ) /\ y e. A )
27 nfv 1843 . . . . . 6 |- F/ x ( B R y -> ( F ` B ) S ( F ` y ) )
2826, 27nfim 1825 . . . . 5 |- F/ x ( ( ( ph /\ B e. A ) /\ y e. A ) -> ( B R y -> ( F ` B ) S ( F ` y ) ) )
29 eleq1 2689 . . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( x e. A <-> B e. A ) )
3029anbi2d 740 . . . . . . 7 |- ( x = B -> ( ( ph /\ x e. A ) <-> ( ph /\ B e. A ) ) )
3130anbi1d 741 . . . . . 6 |- ( x = B -> ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. A ) <-> ( ( ph /\ B e. A ) /\ y e. A ) ) )
32 breq1 4656 . . . . . . 7 |- ( x = B -> ( x R y <-> B R y ) )
33 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( F ` x ) = ( F ` B ) )
3433breq1d 4663 . . . . . . 7 |- ( x = B -> ( ( F ` x ) S ( F ` y ) <-> ( F ` B ) S ( F ` y ) ) )
3532, 34imbi12d 334 . . . . . 6 |- ( x = B -> ( ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) <-> ( B R y -> ( F ` B ) S ( F ` y ) ) ) )
3631, 35imbi12d 334 . . . . 5 |- ( x = B -> ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) <-> ( ( ( ph /\ B e. A ) /\ y e. A ) -> ( B R y -> ( F ` B ) S ( F ` y ) ) ) ) )
37 dmrelrnrel.i . . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) )
3837r19.21bi 2932 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) )
3938r19.21bi 2932 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) )
4028, 36, 39vtoclg1f 3265 . . . 4 |- ( B e. A -> ( ( ( ph /\ B e. A ) /\ y e. A ) -> ( B R y -> ( F ` B ) S ( F ` y ) ) ) )
4113, 21, 40vtoclg1f 3265 . . 3 |- ( C e. A -> ( B e. A -> ( ( ( ph /\ B e. A ) /\ C e. A ) -> ( B R C -> ( F ` B ) S ( F ` C ) ) ) ) )
423, 2, 41sylc 65 . 2 |- ( ph -> ( ( ( ph /\ B e. A ) /\ C e. A ) -> ( B R C -> ( F ` B ) S ( F ` C ) ) ) )
434, 5, 42mp2d 49 1 |- ( ph -> ( F ` B ) S ( F ` C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   A.wral 2912   class class class wbr 4653   ` cfv 5888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896
This theorem is referenced by:  pimincfltioc  40926  pimincfltioo  40928
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