Theorem el2xptp 7211

Description: A member of a nested Cartesian product is an ordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
el2xptp	|- ( A e. ( ( B X. C ) X. D ) <-> E. x e. B E. y e. C E. z e. D A = <. x , y , z >. )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z   x, C, y, z   x, D, y, z

Proof of Theorem el2xptp

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp2 5132	. 2 |- ( A e. ( ( B X. C ) X. D ) <-> E. p e. ( B X. C ) E. z e. D A = <. p , z >. )
2		opeq1 4402	. . . . 5 |- ( p = <. x , y >. -> <. p , z >. = <. <. x , y >. , z >. )
3	2	eqeq2d 2632	. . . 4 |- ( p = <. x , y >. -> ( A = <. p , z >. <-> A = <. <. x , y >. , z >. ) )
4	3	rexbidv 3052	. . 3 |- ( p = <. x , y >. -> ( E. z e. D A = <. p , z >. <-> E. z e. D A = <. <. x , y >. , z >. ) )
5	4	rexxp 5264	. 2 |- ( E. p e. ( B X. C ) E. z e. D A = <. p , z >. <-> E. x e. B E. y e. C E. z e. D A = <. <. x , y >. , z >. )
6		df-ot 4186	. . . . . . 7 |- <. x , y , z >. = <. <. x , y >. , z >.
7	6	eqcomi 2631	. . . . . 6 |- <. <. x , y >. , z >. = <. x , y , z >.
8	7	eqeq2i 2634	. . . . 5 |- ( A = <. <. x , y >. , z >. <-> A = <. x , y , z >. )
9	8	rexbii 3041	. . . 4 |- ( E. z e. D A = <. <. x , y >. , z >. <-> E. z e. D A = <. x , y , z >. )
10	9	rexbii 3041	. . 3 |- ( E. y e. C E. z e. D A = <. <. x , y >. , z >. <-> E. y e. C E. z e. D A = <. x , y , z >. )
11	10	rexbii 3041	. 2 |- ( E. x e. B E. y e. C E. z e. D A = <. <. x , y >. , z >. <-> E. x e. B E. y e. C E. z e. D A = <. x , y , z >. )
12	1, 5, 11	3bitri 286	1 |- ( A e. ( ( B X. C ) X. D ) <-> E. x e. B E. y e. C E. z e. D A = <. x , y , z >. )

Syntax hints:   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   <.cop 4183   <.cotp 4185   X. cxp 5112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-ot 4186  df-iun 4522  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121

This theorem is referenced by: (None)