Theorem ex-pw 27286

Description: Example for df-pw 4160. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ex-pw	|- ( A = { 3 , 5 , 7 } -> ~P A = ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) ) )

Proof of Theorem ex-pw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 4161	. 2 |- ( A = { 3 , 5 , 7 } -> ~P A = ~P { 3 , 5 , 7 } )
2		qdass 4288	. . . 4 |- ( { (/) , { 3 } } u. { { 5 } , { 3 , 5 } } ) = ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 3 , 5 } } )
3		qdassr 4289	. . . 4 |- ( { { 7 } , { 3 , 7 } } u. { { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) = ( { { 7 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } )
4	2, 3	uneq12i 3765	. . 3 |- ( ( { (/) , { 3 } } u. { { 5 } , { 3 , 5 } } ) u. ( { { 7 } , { 3 , 7 } } u. { { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) ) = ( ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 3 , 5 } } ) u. ( { { 7 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) )
5		pwtp 4431	. . 3 |- ~P { 3 , 5 , 7 } = ( ( { (/) , { 3 } } u. { { 5 } , { 3 , 5 } } ) u. ( { { 7 } , { 3 , 7 } } u. { { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) )
6		df-tp 4182	. . . . . . . 8 |- { { 3 } , { 5 } , { 7 } } = ( { { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } )
7	6	uneq2i 3764	. . . . . . 7 |- ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) = ( { (/) } u. ( { { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } ) )
8		unass 3770	. . . . . . 7 |- ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } } ) u. { { 7 } } ) = ( { (/) } u. ( { { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } ) )
9	7, 8	eqtr4i 2647	. . . . . 6 |- ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) = ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } } ) u. { { 7 } } )
10		tpass 4287	. . . . . . 7 |- { (/) , { 3 } , { 5 } } = ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } } )
11	10	uneq1i 3763	. . . . . 6 |- ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } ) = ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } } ) u. { { 7 } } )
12	9, 11	eqtr4i 2647	. . . . 5 |- ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) = ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } )
13		unass 3770	. . . . . 6 |- ( ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } ) u. { { 3 , 5 , 7 } } ) = ( { { 3 , 5 } } u. ( { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) )
14		tpass 4287	. . . . . . 7 |- { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } = ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } )
15	14	uneq1i 3763	. . . . . 6 |- ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) = ( ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } ) u. { { 3 , 5 , 7 } } )
16		df-tp 4182	. . . . . . 7 |- { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } = ( { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } )
17	16	uneq2i 3764	. . . . . 6 |- ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) = ( { { 3 , 5 } } u. ( { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) )
18	13, 15, 17	3eqtr4i 2654	. . . . 5 |- ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) = ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } )
19	12, 18	uneq12i 3765	. . . 4 |- ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) ) = ( ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) )
20		un4 3773	. . . 4 |- ( ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 3 , 5 } } ) u. ( { { 7 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) ) = ( ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) )
21	19, 20	eqtr4i 2647	. . 3 |- ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) ) = ( ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 3 , 5 } } ) u. ( { { 7 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) )
22	4, 5, 21	3eqtr4i 2654	. 2 |- ~P { 3 , 5 , 7 } = ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) )
23	1, 22	syl6eq 2672	1 |- ( A = { 3 , 5 , 7 } -> ~P A = ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   u. cun 3572   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   {ctp 4181   3c3 11071   5c5 11073   7c7 11075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182

This theorem is referenced by: (None)