Theorem f1otrgitv 25750

Description: Convenient lemma for f1otrg 25751. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1otrkg.p	|- P = ( Base ` G )
f1otrkg.d	|- D = ( dist ` G )
f1otrkg.i	|- I = (Itv ` G )
f1otrkg.b	|- B = ( Base ` H )
f1otrkg.e	|- E = ( dist ` H )
f1otrkg.j	|- J = (Itv ` H )
f1otrkg.f	|- ( ph -> F : B -1-1-onto-> P )
f1otrkg.1	|- ( ( ph /\ ( e e. B /\ f e. B ) ) -> ( e E f ) = ( ( F ` e ) D ( F ` f ) ) )
f1otrkg.2	|- ( ( ph /\ ( e e. B /\ f e. B /\ g e. B ) ) -> ( g e. ( e J f ) <-> ( F ` g ) e. ( ( F ` e ) I ( F ` f ) ) ) )
f1otrgitv.x	|- ( ph -> X e. B )
f1otrgitv.y	|- ( ph -> Y e. B )
f1otrgitv.z	|- ( ph -> Z e. B )

Assertion

Ref	Expression
f1otrgitv	|- ( ph -> ( Z e. ( X J Y ) <-> ( F ` Z ) e. ( ( F ` X ) I ( F ` Y ) ) ) )

Distinct variable groups:   e, f, g, B   D, e, f   e, E, f   e, F, f, g   e, I, f, g   e, J, f, g   e, X, f, g   ph, e, f, g   f, Y, g   g, Z

Allowed substitution hints:   D( g)   P( e, f, g)   E( g)   G( e, f, g)   H( e, f, g)   Y( e)   Z( e, f)

Proof of Theorem f1otrgitv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1otrkg.2	. . 3 |- ( ( ph /\ ( e e. B /\ f e. B /\ g e. B ) ) -> ( g e. ( e J f ) <-> ( F ` g ) e. ( ( F ` e ) I ( F ` f ) ) ) )
2	1	ralrimivvva 2972	. 2 |- ( ph -> A. e e. B A. f e. B A. g e. B ( g e. ( e J f ) <-> ( F ` g ) e. ( ( F ` e ) I ( F ` f ) ) ) )
3		f1otrgitv.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
4		f1otrgitv.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
5		f1otrgitv.z	. . 3 |- ( ph -> Z e. B )
6		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( e = X -> ( e J f ) = ( X J f ) )
7	6	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( e = X -> ( g e. ( e J f ) <-> g e. ( X J f ) ) )
8		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( e = X -> ( F ` e ) = ( F ` X ) )
9	8	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( e = X -> ( ( F ` e ) I ( F ` f ) ) = ( ( F ` X ) I ( F ` f ) ) )
10	9	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( e = X -> ( ( F ` g ) e. ( ( F ` e ) I ( F ` f ) ) <-> ( F ` g ) e. ( ( F ` X ) I ( F ` f ) ) ) )
11	7, 10	bibi12d 335	. . . 4 |- ( e = X -> ( ( g e. ( e J f ) <-> ( F ` g ) e. ( ( F ` e ) I ( F ` f ) ) ) <-> ( g e. ( X J f ) <-> ( F ` g ) e. ( ( F ` X ) I ( F ` f ) ) ) ) )
12		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( f = Y -> ( X J f ) = ( X J Y ) )
13	12	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( f = Y -> ( g e. ( X J f ) <-> g e. ( X J Y ) ) )
14		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( f = Y -> ( F ` f ) = ( F ` Y ) )
15	14	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( f = Y -> ( ( F ` X ) I ( F ` f ) ) = ( ( F ` X ) I ( F ` Y ) ) )
16	15	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( f = Y -> ( ( F ` g ) e. ( ( F ` X ) I ( F ` f ) ) <-> ( F ` g ) e. ( ( F ` X ) I ( F ` Y ) ) ) )
17	13, 16	bibi12d 335	. . . 4 |- ( f = Y -> ( ( g e. ( X J f ) <-> ( F ` g ) e. ( ( F ` X ) I ( F ` f ) ) ) <-> ( g e. ( X J Y ) <-> ( F ` g ) e. ( ( F ` X ) I ( F ` Y ) ) ) ) )
18		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( g = Z -> ( g e. ( X J Y ) <-> Z e. ( X J Y ) ) )
19		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( g = Z -> ( F ` g ) = ( F ` Z ) )
20	19	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( g = Z -> ( ( F ` g ) e. ( ( F ` X ) I ( F ` Y ) ) <-> ( F ` Z ) e. ( ( F ` X ) I ( F ` Y ) ) ) )
21	18, 20	bibi12d 335	. . . 4 |- ( g = Z -> ( ( g e. ( X J Y ) <-> ( F ` g ) e. ( ( F ` X ) I ( F ` Y ) ) ) <-> ( Z e. ( X J Y ) <-> ( F ` Z ) e. ( ( F ` X ) I ( F ` Y ) ) ) ) )
22	11, 17, 21	rspc3v 3325	. . 3 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( A. e e. B A. f e. B A. g e. B ( g e. ( e J f ) <-> ( F ` g ) e. ( ( F ` e ) I ( F ` f ) ) ) -> ( Z e. ( X J Y ) <-> ( F ` Z ) e. ( ( F ` X ) I ( F ` Y ) ) ) ) )
23	3, 4, 5, 22	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> ( A. e e. B A. f e. B A. g e. B ( g e. ( e J f ) <-> ( F ` g ) e. ( ( F ` e ) I ( F ` f ) ) ) -> ( Z e. ( X J Y ) <-> ( F ` Z ) e. ( ( F ` X ) I ( F ` Y ) ) ) ) )
24	2, 23	mpd 15	1 |- ( ph -> ( Z e. ( X J Y ) <-> ( F ` Z ) e. ( ( F ` X ) I ( F ` Y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   distcds 15950  Itvcitv 25335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653

This theorem is referenced by:  f1otrg  25751  f1otrge  25752