Theorem rspc3v 3325

Description: 3-variable restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 10-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc3v.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
rspc3v.2	|- ( y = B -> ( ch <-> th ) )
rspc3v.3	|- ( z = C -> ( th <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspc3v	|- ( ( A e. R /\ B e. S /\ C e. T ) -> ( A. x e. R A. y e. S A. z e. T ph -> ps ) )

Distinct variable groups:   ps, z   ch, x   th, y   x, y, z, A   y, B, z   z, C   x, R   x, S, y   x, T, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   ps( x, y)   ch( y, z)   th( x, z)   B( x)   C( x, y)   R( y, z)   S( z)

Proof of Theorem rspc3v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspc3v.1	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
2	1	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( x = A -> ( A. z e. T ph <-> A. z e. T ch ) )
3		rspc3v.2	. . . . 5 |- ( y = B -> ( ch <-> th ) )
4	3	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( y = B -> ( A. z e. T ch <-> A. z e. T th ) )
5	2, 4	rspc2v 3322	. . 3 |- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> ( A. x e. R A. y e. S A. z e. T ph -> A. z e. T th ) )
6		rspc3v.3	. . . 4 |- ( z = C -> ( th <-> ps ) )
7	6	rspcv 3305	. . 3 |- ( C e. T -> ( A. z e. T th -> ps ) )
8	5, 7	sylan9 689	. 2 |- ( ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ C e. T ) -> ( A. x e. R A. y e. S A. z e. T ph -> ps ) )
9	8	3impa 1259	1 |- ( ( A e. R /\ B e. S /\ C e. T ) -> ( A. x e. R A. y e. S A. z e. T ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-v 3202

This theorem is referenced by:  swopolem  5044  isopolem  6595  caovassg  6832  caovcang  6835  caovordig  6839  caovordg  6841  caovdig  6848  caovdirg  6851  caofass  6931  caoftrn  6932  prslem  16931  posi  16950  latdisdlem  17189  dlatmjdi  17194  sgrpass  17290  gaass  17730  islmodd  18869  rmodislmodlem  18930  rmodislmod  18931  lsscl  18943  assalem  19316  psmettri2  22114  xmettri2  22145  axtgcgrid  25362  axtg5seg  25364  axtgpasch  25366  axtgupdim2  25370  axtgeucl  25371  tgdim01  25402  f1otrgitv  25750  grpoass  27357  vcdi  27420  vcdir  27421  vcass  27422  lnolin  27609  lnopl  28773  lnfnl  28790  omndadd  29706  axtgupdim2OLD  30746  rngodi  33703  rngodir  33704  rngoass  33705  lfli  34348  cvlexch1  34615  rngdir  41882