Theorem gneispacess2 38444

Description: All supersets of a neighborhood of a point (limited to the domain of the neighborhood space) are also neighborhoods of that point. (Contributed by RP, 15-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
gneispace.a	|- A = { f | ( f : dom f --> ( ~P ( ~P dom f \ { (/) } ) \ { (/) } ) /\ A. p e. dom f A. n e. ( f ` p ) ( p e. n /\ A. s e. ~P dom f ( n C_ s -> s e. ( f ` p ) ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
gneispacess2	|- ( ( ( F e. A /\ P e. dom F ) /\ ( N e. ( F ` P ) /\ S e. ~P dom F /\ N C_ S ) ) -> S e. ( F ` P ) )

Distinct variable groups:   n, F, p, f, s   P, p, n   n, N   S, s   n, s, N   s, p, P

Allowed substitution hints:   A( f, n, s, p)   P( f)   S( f, n, p)   N( f, p)

Proof of Theorem gneispacess2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gneispace.a	. . . . 5 |- A = { f | ( f : dom f --> ( ~P ( ~P dom f \ { (/) } ) \ { (/) } ) /\ A. p e. dom f A. n e. ( f ` p ) ( p e. n /\ A. s e. ~P dom f ( n C_ s -> s e. ( f ` p ) ) ) ) }
2	1	gneispacess 38443	. . . 4 |- ( F e. A -> A. p e. dom F A. n e. ( F ` p ) A. s e. ~P dom F ( n C_ s -> s e. ( F ` p ) ) )
3		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( p = P -> ( F ` p ) = ( F ` P ) )
4	3	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( p = P -> ( s e. ( F ` p ) <-> s e. ( F ` P ) ) )
5	4	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( p = P -> ( ( n C_ s -> s e. ( F ` p ) ) <-> ( n C_ s -> s e. ( F ` P ) ) ) )
6	5	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( p = P -> ( A. s e. ~P dom F ( n C_ s -> s e. ( F ` p ) ) <-> A. s e. ~P dom F ( n C_ s -> s e. ( F ` P ) ) ) )
7	3, 6	raleqbidv 3152	. . . . 5 |- ( p = P -> ( A. n e. ( F ` p ) A. s e. ~P dom F ( n C_ s -> s e. ( F ` p ) ) <-> A. n e. ( F ` P ) A. s e. ~P dom F ( n C_ s -> s e. ( F ` P ) ) ) )
8	7	rspccv 3306	. . . 4 |- ( A. p e. dom F A. n e. ( F ` p ) A. s e. ~P dom F ( n C_ s -> s e. ( F ` p ) ) -> ( P e. dom F -> A. n e. ( F ` P ) A. s e. ~P dom F ( n C_ s -> s e. ( F ` P ) ) ) )
9	2, 8	syl 17	. . 3 |- ( F e. A -> ( P e. dom F -> A. n e. ( F ` P ) A. s e. ~P dom F ( n C_ s -> s e. ( F ` P ) ) ) )
10		sseq1 3626	. . . . . . . 8 |- ( n = N -> ( n C_ s <-> N C_ s ) )
11	10	imbi1d 331	. . . . . . 7 |- ( n = N -> ( ( n C_ s -> s e. ( F ` P ) ) <-> ( N C_ s -> s e. ( F ` P ) ) ) )
12	11	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( A. s e. ~P dom F ( n C_ s -> s e. ( F ` P ) ) <-> A. s e. ~P dom F ( N C_ s -> s e. ( F ` P ) ) ) )
13	12	rspccv 3306	. . . . 5 |- ( A. n e. ( F ` P ) A. s e. ~P dom F ( n C_ s -> s e. ( F ` P ) ) -> ( N e. ( F ` P ) -> A. s e. ~P dom F ( N C_ s -> s e. ( F ` P ) ) ) )
14		sseq2 3627	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( N C_ s <-> N C_ S ) )
15		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( s = S -> ( s e. ( F ` P ) <-> S e. ( F ` P ) ) )
16	14, 15	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( ( N C_ s -> s e. ( F ` P ) ) <-> ( N C_ S -> S e. ( F ` P ) ) ) )
17	16	rspccv 3306	. . . . 5 |- ( A. s e. ~P dom F ( N C_ s -> s e. ( F ` P ) ) -> ( S e. ~P dom F -> ( N C_ S -> S e. ( F ` P ) ) ) )
18	13, 17	syl6 35	. . . 4 |- ( A. n e. ( F ` P ) A. s e. ~P dom F ( n C_ s -> s e. ( F ` P ) ) -> ( N e. ( F ` P ) -> ( S e. ~P dom F -> ( N C_ S -> S e. ( F ` P ) ) ) ) )
19	18	3impd 1281	. . 3 |- ( A. n e. ( F ` P ) A. s e. ~P dom F ( n C_ s -> s e. ( F ` P ) ) -> ( ( N e. ( F ` P ) /\ S e. ~P dom F /\ N C_ S ) -> S e. ( F ` P ) ) )
20	9, 19	syl6 35	. 2 |- ( F e. A -> ( P e. dom F -> ( ( N e. ( F ` P ) /\ S e. ~P dom F /\ N C_ S ) -> S e. ( F ` P ) ) ) )
21	20	imp31 448	1 |- ( ( ( F e. A /\ P e. dom F ) /\ ( N e. ( F ` P ) /\ S e. ~P dom F /\ N C_ S ) ) -> S e. ( F ` P ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896

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