Theorem inuni 4826

Description: The intersection of a union U. A with a class B is equal to the union of the intersections of each element of A with B. (Contributed by FL, 24-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
inuni	|- ( U. A i^i B ) = U. { x | E. y e. A x = ( y i^i B ) }

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Proof of Theorem inuni

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni2 4440	. . . . 5 |- ( z e. U. A <-> E. y e. A z e. y )
2	1	anbi1i 731	. . . 4 |- ( ( z e. U. A /\ z e. B ) <-> ( E. y e. A z e. y /\ z e. B ) )
3		elin 3796	. . . 4 |- ( z e. ( U. A i^i B ) <-> ( z e. U. A /\ z e. B ) )
4		ancom 466	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) <-> ( E. y e. A x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
5		r19.41v 3089	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. A ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> ( E. y e. A x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
6	4, 5	bitr4i 267	. . . . . . 7 |- ( ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) <-> E. y e. A ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
7	6	exbii 1774	. . . . . 6 |- ( E. x ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) <-> E. x E. y e. A ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
8		rexcom4 3225	. . . . . 6 |- ( E. y e. A E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> E. x E. y e. A ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
9	7, 8	bitr4i 267	. . . . 5 |- ( E. x ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) <-> E. y e. A E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
10		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
11	10	inex1 4799	. . . . . . . . 9 |- ( y i^i B ) e. _V
12		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y i^i B ) -> ( z e. x <-> z e. ( y i^i B ) ) )
13	11, 12	ceqsexv 3242	. . . . . . . 8 |- ( E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> z e. ( y i^i B ) )
14		elin 3796	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( y i^i B ) <-> ( z e. y /\ z e. B ) )
15	13, 14	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> ( z e. y /\ z e. B ) )
16	15	rexbii 3041	. . . . . 6 |- ( E. y e. A E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> E. y e. A ( z e. y /\ z e. B ) )
17		r19.41v 3089	. . . . . 6 |- ( E. y e. A ( z e. y /\ z e. B ) <-> ( E. y e. A z e. y /\ z e. B ) )
18	16, 17	bitri 264	. . . . 5 |- ( E. y e. A E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> ( E. y e. A z e. y /\ z e. B ) )
19	9, 18	bitri 264	. . . 4 |- ( E. x ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) <-> ( E. y e. A z e. y /\ z e. B ) )
20	2, 3, 19	3bitr4i 292	. . 3 |- ( z e. ( U. A i^i B ) <-> E. x ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) )
21		eluniab 4447	. . 3 |- ( z e. U. { x | E. y e. A x = ( y i^i B ) } <-> E. x ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) )
22	20, 21	bitr4i 267	. 2 |- ( z e. ( U. A i^i B ) <-> z e. U. { x | E. y e. A x = ( y i^i B ) } )
23	22	eqriv 2619	1 |- ( U. A i^i B ) = U. { x | E. y e. A x = ( y i^i B ) }

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   i^i cin 3573   U.cuni 4436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-in 3581  df-uni 4437

This theorem is referenced by: (None)