Theorem dynkin 30230

Description: Dynkin's lambda-pi theorem: if a lambda-system contains a pi-system, it also contains the sigma-algebra generated by that pi-system. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dynkin.p	|- P = { s e. ~P ~P O | ( fi ` s ) C_ s }
dynkin.l	|- L = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) ) }
dynkin.o	|- ( ph -> O e. V )
dynkin.1	|- ( ph -> S e. L )
dynkin.2	|- ( ph -> T e. P )
dynkin.3	|- ( ph -> T C_ S )

Assertion

Ref	Expression
dynkin	|- ( ph -> |^| { u e. (sigAlgebra ` O ) | T C_ u } C_ S )

Distinct variable groups:   x, s, y, L   O, s, x   x, P, y   L, s, u, x   u, O   T, s, u, x   ph, x   y, O   y, T   x, V   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( u, s)   P( u, s)   S( x, y, u, s)   V( y, u, s)

Proof of Theorem dynkin

Dummy variables t v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dynkin.p	. . . . . 6 |- P = { s e. ~P ~P O | ( fi ` s ) C_ s }
2		dynkin.l	. . . . . 6 |- L = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s ( O \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> U. x e. s ) ) }
3		dynkin.o	. . . . . 6 |- ( ph -> O e. V )
4		sseq2 3627	. . . . . . . 8 |- ( v = t -> ( T C_ v <-> T C_ t ) )
5	4	cbvrabv 3199	. . . . . . 7 |- { v e. L | T C_ v } = { t e. L | T C_ t }
6	5	inteqi 4479	. . . . . 6 |- |^| { v e. L | T C_ v } = |^| { t e. L | T C_ t }
7		dynkin.2	. . . . . 6 |- ( ph -> T e. P )
8	1, 2, 3, 6, 7	ldgenpisys 30229	. . . . 5 |- ( ph -> |^| { v e. L | T C_ v } e. P )
9	1	ispisys2 30216	. . . . . . . . 9 |- ( T e. P <-> ( T e. ~P ~P O /\ A. x e. ( ( ~P T i^i Fin ) \ { (/) } ) |^| x e. T ) )
10	9	simplbi 476	. . . . . . . 8 |- ( T e. P -> T e. ~P ~P O )
11	7, 10	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. ~P ~P O )
12	11	elpwid 4170	. . . . . 6 |- ( ph -> T C_ ~P O )
13	2, 3, 12	ldsysgenld 30223	. . . . 5 |- ( ph -> |^| { v e. L | T C_ v } e. L )
14	8, 13	elind 3798	. . . 4 |- ( ph -> |^| { v e. L | T C_ v } e. ( P i^i L ) )
15	1, 2	sigapildsys 30225	. . . 4 |- (sigAlgebra ` O ) = ( P i^i L )
16	14, 15	syl6eleqr 2712	. . 3 |- ( ph -> |^| { v e. L | T C_ v } e. (sigAlgebra ` O ) )
17		ssintub 4495	. . . 4 |- T C_ |^| { v e. L | T C_ v }
18	17	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> T C_ |^| { v e. L | T C_ v } )
19		sseq2 3627	. . . 4 |- ( u = |^| { v e. L | T C_ v } -> ( T C_ u <-> T C_ |^| { v e. L | T C_ v } ) )
20	19	intminss 4503	. . 3 |- ( ( |^| { v e. L | T C_ v } e. (sigAlgebra ` O ) /\ T C_ |^| { v e. L | T C_ v } ) -> |^| { u e. (sigAlgebra ` O ) | T C_ u } C_ |^| { v e. L | T C_ v } )
21	16, 18, 20	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> |^| { u e. (sigAlgebra ` O ) | T C_ u } C_ |^| { v e. L | T C_ v } )
22		dynkin.1	. . 3 |- ( ph -> S e. L )
23		dynkin.3	. . 3 |- ( ph -> T C_ S )
24		sseq2 3627	. . . 4 |- ( v = S -> ( T C_ v <-> T C_ S ) )
25	24	intminss 4503	. . 3 |- ( ( S e. L /\ T C_ S ) -> |^| { v e. L | T C_ v } C_ S )
26	22, 23, 25	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> |^| { v e. L | T C_ v } C_ S )
27	21, 26	sstrd 3613	1 |- ( ph -> |^| { u e. (sigAlgebra ` O ) | T C_ u } C_ S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   |^|cint 4475  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   ficfi 8316  sigAlgebracsiga 30170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-siga 30171

This theorem is referenced by: (None)