Theorem issald 40551

Description: Sufficient condition to prove that S is sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issald.s	|- ( ph -> S e. V )
issald.z	|- ( ph -> (/) e. S )
issald.x	|- X = U. S
issald.d	|- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( X \ y ) e. S )
issald.u	|- ( ( ph /\ y e. ~P S /\ y ~<_ om ) -> U. y e. S )

Assertion

Ref	Expression
issald	|- ( ph -> S e. SAlg )

Distinct variable groups:   y, S   ph, y

Allowed substitution hints:   V( y)   X( y)

Proof of Theorem issald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issald.z	. 2 |- ( ph -> (/) e. S )
2		issald.x	. . . . . 6 |- X = U. S
3	2	eqcomi 2631	. . . . 5 |- U. S = X
4	3	difeq1i 3724	. . . 4 |- ( U. S \ y ) = ( X \ y )
5		issald.d	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( X \ y ) e. S )
6	4, 5	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. S ) -> ( U. S \ y ) e. S )
7	6	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. y e. S ( U. S \ y ) e. S )
8		issald.u	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ~P S /\ y ~<_ om ) -> U. y e. S )
9	8	3expia 1267	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. ~P S ) -> ( y ~<_ om -> U. y e. S ) )
10	9	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. y e. ~P S ( y ~<_ om -> U. y e. S ) )
11		issald.s	. . 3 |- ( ph -> S e. V )
12		issal 40534	. . 3 |- ( S e. V -> ( S e. SAlg <-> ( (/) e. S /\ A. y e. S ( U. S \ y ) e. S /\ A. y e. ~P S ( y ~<_ om -> U. y e. S ) ) ) )
13	11, 12	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( S e. SAlg <-> ( (/) e. S /\ A. y e. S ( U. S \ y ) e. S /\ A. y e. ~P S ( y ~<_ om -> U. y e. S ) ) ) )
14	1, 7, 10, 13	mpbir3and 1245	1 |- ( ph -> S e. SAlg )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   \ cdif 3571   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   omcom 7065   ~<_ cdom 7953  SAlgcsalg 40528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-in 3581  df-ss 3588  df-pw 4160  df-uni 4437  df-salg 40529

This theorem is referenced by:  salexct  40552  issalnnd  40563