Theorem issal 40534

Description: Express the predicate " S is a sigma-algebra." (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
issal	|- ( S e. V -> ( S e. SAlg <-> ( (/) e. S /\ A. y e. S ( U. S \ y ) e. S /\ A. y e. ~P S ( y ~<_ om -> U. y e. S ) ) ) )

Distinct variable group:   y, S

Allowed substitution hint:   V( y)

Proof of Theorem issal

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2690	. . 3 |- ( x = S -> ( (/) e. x <-> (/) e. S ) )
2		id 22	. . . 4 |- ( x = S -> x = S )
3		unieq 4444	. . . . . 6 |- ( x = S -> U. x = U. S )
4	3	difeq1d 3727	. . . . 5 |- ( x = S -> ( U. x \ y ) = ( U. S \ y ) )
5	4, 2	eleq12d 2695	. . . 4 |- ( x = S -> ( ( U. x \ y ) e. x <-> ( U. S \ y ) e. S ) )
6	2, 5	raleqbidv 3152	. . 3 |- ( x = S -> ( A. y e. x ( U. x \ y ) e. x <-> A. y e. S ( U. S \ y ) e. S ) )
7		pweq 4161	. . . 4 |- ( x = S -> ~P x = ~P S )
8		eleq2 2690	. . . . 5 |- ( x = S -> ( U. y e. x <-> U. y e. S ) )
9	8	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = S -> ( ( y ~<_ om -> U. y e. x ) <-> ( y ~<_ om -> U. y e. S ) ) )
10	7, 9	raleqbidv 3152	. . 3 |- ( x = S -> ( A. y e. ~P x ( y ~<_ om -> U. y e. x ) <-> A. y e. ~P S ( y ~<_ om -> U. y e. S ) ) )
11	1, 6, 10	3anbi123d 1399	. 2 |- ( x = S -> ( ( (/) e. x /\ A. y e. x ( U. x \ y ) e. x /\ A. y e. ~P x ( y ~<_ om -> U. y e. x ) ) <-> ( (/) e. S /\ A. y e. S ( U. S \ y ) e. S /\ A. y e. ~P S ( y ~<_ om -> U. y e. S ) ) ) )
12		df-salg 40529	. 2 |- SAlg = { x | ( (/) e. x /\ A. y e. x ( U. x \ y ) e. x /\ A. y e. ~P x ( y ~<_ om -> U. y e. x ) ) }
13	11, 12	elab2g 3353	1 |- ( S e. V -> ( S e. SAlg <-> ( (/) e. S /\ A. y e. S ( U. S \ y ) e. S /\ A. y e. ~P S ( y ~<_ om -> U. y e. S ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   \ cdif 3571   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   omcom 7065   ~<_ cdom 7953  SAlgcsalg 40528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-in 3581  df-ss 3588  df-pw 4160  df-uni 4437  df-salg 40529

This theorem is referenced by:  pwsal  40535  salunicl  40536  saluncl  40537  prsal  40538  saldifcl  40539  0sal  40540  intsal  40548  issald  40551  caragensal  40739