Theorem salexct 40552

Description: An example of non trivial sigma-algebra: the collection of all subsets which either are countable or have countable complement. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salexct.a	|- ( ph -> A e. V )
salexct.b	|- S = { x e. ~P A | ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) }

Assertion

Ref	Expression
salexct	|- ( ph -> S e. SAlg )

Distinct variable groups:   x, A   x, S   ph, x

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem salexct

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salexct.b	. . 3 |- S = { x e. ~P A | ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) }
2		salexct.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. V )
3		pwexg 4850	. . . . 5 |- ( A e. V -> ~P A e. _V )
4	2, 3	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ~P A e. _V )
5		rabexg 4812	. . . 4 |- ( ~P A e. _V -> { x e. ~P A | ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) } e. _V )
6	4, 5	syl 17	. . 3 |- ( ph -> { x e. ~P A | ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) } e. _V )
7	1, 6	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ph -> S e. _V )
8		0elpw 4834	. . . . 5 |- (/) e. ~P A
9	8	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> (/) e. ~P A )
10		0fin 8188	. . . . . . 7 |- (/) e. Fin
11		fict 8550	. . . . . . 7 |- ( (/) e. Fin -> (/) ~<_ om )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 |- (/) ~<_ om
13	12	orci 405	. . . . 5 |- ( (/) ~<_ om \/ ( A \ (/) ) ~<_ om )
14	13	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) ~<_ om \/ ( A \ (/) ) ~<_ om ) )
15	9, 14	jca 554	. . 3 |- ( ph -> ( (/) e. ~P A /\ ( (/) ~<_ om \/ ( A \ (/) ) ~<_ om ) ) )
16		breq1 4656	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( x ~<_ om <-> (/) ~<_ om ) )
17		difeq2 3722	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( A \ x ) = ( A \ (/) ) )
18	17	breq1d 4663	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( A \ x ) ~<_ om <-> ( A \ (/) ) ~<_ om ) )
19	16, 18	orbi12d 746	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) <-> ( (/) ~<_ om \/ ( A \ (/) ) ~<_ om ) ) )
20	19, 1	elrab2 3366	. . 3 |- ( (/) e. S <-> ( (/) e. ~P A /\ ( (/) ~<_ om \/ ( A \ (/) ) ~<_ om ) ) )
21	15, 20	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> (/) e. S )
22		snidg 4206	. . . . . 6 |- ( y e. A -> y e. { y } )
23		snelpwi 4912	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> { y } e. ~P A )
24		snfi 8038	. . . . . . . . . . 11 |- { y } e. Fin
25		fict 8550	. . . . . . . . . . 11 |- ( { y } e. Fin -> { y } ~<_ om )
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- { y } ~<_ om
27	26	orci 405	. . . . . . . . 9 |- ( { y } ~<_ om \/ ( A \ { y } ) ~<_ om )
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> ( { y } ~<_ om \/ ( A \ { y } ) ~<_ om ) )
29	23, 28	jca 554	. . . . . . 7 |- ( y e. A -> ( { y } e. ~P A /\ ( { y } ~<_ om \/ ( A \ { y } ) ~<_ om ) ) )
30		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( x = { y } -> ( x ~<_ om <-> { y } ~<_ om ) )
31		difeq2 3722	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { y } -> ( A \ x ) = ( A \ { y } ) )
32	31	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( x = { y } -> ( ( A \ x ) ~<_ om <-> ( A \ { y } ) ~<_ om ) )
33	30, 32	orbi12d 746	. . . . . . . 8 |- ( x = { y } -> ( ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) <-> ( { y } ~<_ om \/ ( A \ { y } ) ~<_ om ) ) )
34	33, 1	elrab2 3366	. . . . . . 7 |- ( { y } e. S <-> ( { y } e. ~P A /\ ( { y } ~<_ om \/ ( A \ { y } ) ~<_ om ) ) )
35	29, 34	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( y e. A -> { y } e. S )
36		elunii 4441	. . . . . 6 |- ( ( y e. { y } /\ { y } e. S ) -> y e. U. S )
37	22, 35, 36	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( y e. A -> y e. U. S )
38	37	rgen 2922	. . . 4 |- A. y e. A y e. U. S
39		dfss3 3592	. . . 4 |- ( A C_ U. S <-> A. y e. A y e. U. S )
40	38, 39	mpbir 221	. . 3 |- A C_ U. S
41		ssrab2 3687	. . . . . 6 |- { x e. ~P A | ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) } C_ ~P A
42	1, 41	eqsstri 3635	. . . . 5 |- S C_ ~P A
43	42	unissi 4461	. . . 4 |- U. S C_ U. ~P A
44		unipw 4918	. . . 4 |- U. ~P A = A
45	43, 44	sseqtri 3637	. . 3 |- U. S C_ A
46	40, 45	eqssi 3619	. 2 |- A = U. S
47		difssd 3738	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A \ x ) C_ A )
48	2, 47	ssexd 4805	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A \ x ) e. _V )
49		elpwg 4166	. . . . . . . 8 |- ( ( A \ x ) e. _V -> ( ( A \ x ) e. ~P A <-> ( A \ x ) C_ A ) )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A \ x ) e. ~P A <-> ( A \ x ) C_ A ) )
51	47, 50	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A \ x ) e. ~P A )
52	51	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ x ~<_ om ) -> ( A \ x ) e. ~P A )
53	42	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. S -> x e. ~P A )
54		elpwi 4168	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( x e. S -> x C_ A )
56		dfss4 3858	. . . . . . . . 9 |- ( x C_ A <-> ( A \ ( A \ x ) ) = x )
57	55, 56	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( x e. S -> ( A \ ( A \ x ) ) = x )
58	57	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ x ~<_ om ) -> ( A \ ( A \ x ) ) = x )
59		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ x ~<_ om ) -> x ~<_ om )
60	58, 59	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ x ~<_ om ) -> ( A \ ( A \ x ) ) ~<_ om )
61		olc 399	. . . . . 6 |- ( ( A \ ( A \ x ) ) ~<_ om -> ( ( A \ x ) ~<_ om \/ ( A \ ( A \ x ) ) ~<_ om ) )
62	60, 61	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ x ~<_ om ) -> ( ( A \ x ) ~<_ om \/ ( A \ ( A \ x ) ) ~<_ om ) )
63	52, 62	jca 554	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ x ~<_ om ) -> ( ( A \ x ) e. ~P A /\ ( ( A \ x ) ~<_ om \/ ( A \ ( A \ x ) ) ~<_ om ) ) )
64		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( y = ( A \ x ) -> ( y ~<_ om <-> ( A \ x ) ~<_ om ) )
65		difeq2 3722	. . . . . . 7 |- ( y = ( A \ x ) -> ( A \ y ) = ( A \ ( A \ x ) ) )
66	65	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( y = ( A \ x ) -> ( ( A \ y ) ~<_ om <-> ( A \ ( A \ x ) ) ~<_ om ) )
67	64, 66	orbi12d 746	. . . . 5 |- ( y = ( A \ x ) -> ( ( y ~<_ om \/ ( A \ y ) ~<_ om ) <-> ( ( A \ x ) ~<_ om \/ ( A \ ( A \ x ) ) ~<_ om ) ) )
68		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x ~<_ om <-> y ~<_ om ) )
69		difeq2 3722	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( A \ x ) = ( A \ y ) )
70	69	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( A \ x ) ~<_ om <-> ( A \ y ) ~<_ om ) )
71	68, 70	orbi12d 746	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) <-> ( y ~<_ om \/ ( A \ y ) ~<_ om ) ) )
72	71	cbvrabv 3199	. . . . . 6 |- { x e. ~P A | ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) } = { y e. ~P A | ( y ~<_ om \/ ( A \ y ) ~<_ om ) }
73	1, 72	eqtri 2644	. . . . 5 |- S = { y e. ~P A | ( y ~<_ om \/ ( A \ y ) ~<_ om ) }
74	67, 73	elrab2 3366	. . . 4 |- ( ( A \ x ) e. S <-> ( ( A \ x ) e. ~P A /\ ( ( A \ x ) ~<_ om \/ ( A \ ( A \ x ) ) ~<_ om ) ) )
75	63, 74	sylibr 224	. . 3 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ x ~<_ om ) -> ( A \ x ) e. S )
76	51	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ -. x ~<_ om ) -> ( A \ x ) e. ~P A )
77	1	rabeq2i 3197	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. S <-> ( x e. ~P A /\ ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) ) )
78	77	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. S -> ( x e. ~P A /\ ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) ) )
79	78	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( x e. S -> ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) )
80	79	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) )
81	80	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ -. x ~<_ om ) -> ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) )
82		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ -. x ~<_ om ) -> -. x ~<_ om )
83		pm2.53 388	. . . . . . 7 |- ( ( x ~<_ om \/ ( A \ x ) ~<_ om ) -> ( -. x ~<_ om -> ( A \ x ) ~<_ om ) )
84	81, 82, 83	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ -. x ~<_ om ) -> ( A \ x ) ~<_ om )
85		orc 400	. . . . . 6 |- ( ( A \ x ) ~<_ om -> ( ( A \ x ) ~<_ om \/ ( A \ ( A \ x ) ) ~<_ om ) )
86	84, 85	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ -. x ~<_ om ) -> ( ( A \ x ) ~<_ om \/ ( A \ ( A \ x ) ) ~<_ om ) )
87	76, 86	jca 554	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ -. x ~<_ om ) -> ( ( A \ x ) e. ~P A /\ ( ( A \ x ) ~<_ om \/ ( A \ ( A \ x ) ) ~<_ om ) ) )
88	87, 74	sylibr 224	. . 3 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ -. x ~<_ om ) -> ( A \ x ) e. S )
89	75, 88	pm2.61dan 832	. 2 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( A \ x ) e. S )
90		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ~P S -> x C_ S )
91	90	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P S /\ y e. x ) -> x C_ S )
92		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ~P S /\ y e. x ) -> y e. x )
93	91, 92	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P S /\ y e. x ) -> y e. S )
94	42	sseli 3599	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. S -> y e. ~P A )
95		elpwi 4168	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~P A -> y C_ A )
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. S -> y C_ A )
97	93, 96	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ~P S /\ y e. x ) -> y C_ A )
98	97	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~P S -> A. y e. x y C_ A )
99		unissb 4469	. . . . . . . 8 |- ( U. x C_ A <-> A. y e. x y C_ A )
100	98, 99	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P S -> U. x C_ A )
101		vuniex 6954	. . . . . . . 8 |- U. x e. _V
102	101	elpw 4164	. . . . . . 7 |- ( U. x e. ~P A <-> U. x C_ A )
103	100, 102	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( x e. ~P S -> U. x e. ~P A )
104	103	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( x e. ~P S /\ x ~<_ om ) -> U. x e. ~P A )
105		id 22	. . . . . . . 8 |- ( ( x ~<_ om /\ A. y e. x y ~<_ om ) -> ( x ~<_ om /\ A. y e. x y ~<_ om ) )
106	105	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ~P S /\ x ~<_ om ) /\ A. y e. x y ~<_ om ) -> ( x ~<_ om /\ A. y e. x y ~<_ om ) )
107		unictb 9397	. . . . . . 7 |- ( ( x ~<_ om /\ A. y e. x y ~<_ om ) -> U. x ~<_ om )
108		orc 400	. . . . . . 7 |- ( U. x ~<_ om -> ( U. x ~<_ om \/ ( A \ U. x ) ~<_ om ) )
109	106, 107, 108	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ~P S /\ x ~<_ om ) /\ A. y e. x y ~<_ om ) -> ( U. x ~<_ om \/ ( A \ U. x ) ~<_ om ) )
110		rexnal 2995	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y e. x -. y ~<_ om <-> -. A. y e. x y ~<_ om )
111	110	bicomi 214	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. y e. x y ~<_ om <-> E. y e. x -. y ~<_ om )
112	111	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A. y e. x y ~<_ om -> E. y e. x -. y ~<_ om )
113	112	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ~P S /\ -. A. y e. x y ~<_ om ) -> E. y e. x -. y ~<_ om )
114		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y x e. ~P S
115		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y A. y e. x y ~<_ om
116	115	nfn 1784	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y -. A. y e. x y ~<_ om
117	114, 116	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ( x e. ~P S /\ -. A. y e. x y ~<_ om )
118		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ( A \ U. x ) ~<_ om
119		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. x -> y C_ U. x )
120	119	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P S /\ y e. x /\ -. y ~<_ om ) -> y C_ U. x )
121	120	sscond 3747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P S /\ y e. x /\ -. y ~<_ om ) -> ( A \ U. x ) C_ ( A \ y ) )
122	93	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P S /\ y e. x /\ -. y ~<_ om ) -> y e. S )
123		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ~P S /\ y e. x /\ -. y ~<_ om ) -> -. y ~<_ om )
124	73	rabeq2i 3197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. S <-> ( y e. ~P A /\ ( y ~<_ om \/ ( A \ y ) ~<_ om ) ) )
125	124	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. S -> ( y e. ~P A /\ ( y ~<_ om \/ ( A \ y ) ~<_ om ) ) )
126	125	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. S -> ( y ~<_ om \/ ( A \ y ) ~<_ om ) )
127	126	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. S /\ -. y ~<_ om ) -> ( y ~<_ om \/ ( A \ y ) ~<_ om ) )
128		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. S /\ -. y ~<_ om ) -> -. y ~<_ om )
129		pm2.53 388	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y ~<_ om \/ ( A \ y ) ~<_ om ) -> ( -. y ~<_ om -> ( A \ y ) ~<_ om ) )
130	127, 128, 129	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. S /\ -. y ~<_ om ) -> ( A \ y ) ~<_ om )
131	122, 123, 130	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ~P S /\ y e. x /\ -. y ~<_ om ) -> ( A \ y ) ~<_ om )
132		ssct 8041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A \ U. x ) C_ ( A \ y ) /\ ( A \ y ) ~<_ om ) -> ( A \ U. x ) ~<_ om )
133	121, 131, 132	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ~P S /\ y e. x /\ -. y ~<_ om ) -> ( A \ U. x ) ~<_ om )
134	133	3exp 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~P S -> ( y e. x -> ( -. y ~<_ om -> ( A \ U. x ) ~<_ om ) ) )
135	134	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P S /\ -. A. y e. x y ~<_ om ) -> ( y e. x -> ( -. y ~<_ om -> ( A \ U. x ) ~<_ om ) ) )
136	117, 118, 135	rexlimd 3026	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ~P S /\ -. A. y e. x y ~<_ om ) -> ( E. y e. x -. y ~<_ om -> ( A \ U. x ) ~<_ om ) )
137	113, 136	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ~P S /\ -. A. y e. x y ~<_ om ) -> ( A \ U. x ) ~<_ om )
138		olc 399	. . . . . . . 8 |- ( ( A \ U. x ) ~<_ om -> ( U. x ~<_ om \/ ( A \ U. x ) ~<_ om ) )
139	137, 138	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ~P S /\ -. A. y e. x y ~<_ om ) -> ( U. x ~<_ om \/ ( A \ U. x ) ~<_ om ) )
140	139	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ~P S /\ x ~<_ om ) /\ -. A. y e. x y ~<_ om ) -> ( U. x ~<_ om \/ ( A \ U. x ) ~<_ om ) )
141	109, 140	pm2.61dan 832	. . . . 5 |- ( ( x e. ~P S /\ x ~<_ om ) -> ( U. x ~<_ om \/ ( A \ U. x ) ~<_ om ) )
142	104, 141	jca 554	. . . 4 |- ( ( x e. ~P S /\ x ~<_ om ) -> ( U. x e. ~P A /\ ( U. x ~<_ om \/ ( A \ U. x ) ~<_ om ) ) )
143		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( y = U. x -> ( y ~<_ om <-> U. x ~<_ om ) )
144		difeq2 3722	. . . . . . 7 |- ( y = U. x -> ( A \ y ) = ( A \ U. x ) )
145	144	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( y = U. x -> ( ( A \ y ) ~<_ om <-> ( A \ U. x ) ~<_ om ) )
146	143, 145	orbi12d 746	. . . . 5 |- ( y = U. x -> ( ( y ~<_ om \/ ( A \ y ) ~<_ om ) <-> ( U. x ~<_ om \/ ( A \ U. x ) ~<_ om ) ) )
147	146, 73	elrab2 3366	. . . 4 |- ( U. x e. S <-> ( U. x e. ~P A /\ ( U. x ~<_ om \/ ( A \ U. x ) ~<_ om ) ) )
148	142, 147	sylibr 224	. . 3 |- ( ( x e. ~P S /\ x ~<_ om ) -> U. x e. S )
149	148	3adant1 1079	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ~P S /\ x ~<_ om ) -> U. x e. S )
150	7, 21, 46, 89, 149	issald 40551	1 |- ( ph -> S e. SAlg )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955  SAlgcsalg 40528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-salg 40529

This theorem is referenced by:  salexct3  40560  salgencntex  40561  salgensscntex  40562