Theorem ist0-3 21149

Description: The predicate "is a T₀ space," expressed in more familiar terms. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)

Assertion

Ref	Expression
ist0-3	|- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Kol2 <-> A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. o e. J ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( -. x e. o /\ y e. o ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, o, J   o, X, x, y

Proof of Theorem ist0-3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ist0-2 21148	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Kol2 <-> A. x e. X A. y e. X ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) ) )
2		con34b 306	. . . 4 |- ( ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) <-> ( -. x = y -> -. A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) ) )
3		df-ne 2795	. . . . 5 |- ( x =/= y <-> -. x = y )
4		xor 935	. . . . . . . 8 |- ( -. ( x e. o <-> y e. o ) <-> ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( y e. o /\ -. x e. o ) ) )
5		ancom 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. o /\ -. x e. o ) <-> ( -. x e. o /\ y e. o ) )
6	5	orbi2i 541	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( y e. o /\ -. x e. o ) ) <-> ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( -. x e. o /\ y e. o ) ) )
7	4, 6	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( -. ( x e. o <-> y e. o ) <-> ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( -. x e. o /\ y e. o ) ) )
8	7	rexbii 3041	. . . . . 6 |- ( E. o e. J -. ( x e. o <-> y e. o ) <-> E. o e. J ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( -. x e. o /\ y e. o ) ) )
9		rexnal 2995	. . . . . 6 |- ( E. o e. J -. ( x e. o <-> y e. o ) <-> -. A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) )
10	8, 9	bitr3i 266	. . . . 5 |- ( E. o e. J ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( -. x e. o /\ y e. o ) ) <-> -. A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) )
11	3, 10	imbi12i 340	. . . 4 |- ( ( x =/= y -> E. o e. J ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( -. x e. o /\ y e. o ) ) ) <-> ( -. x = y -> -. A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) ) )
12	2, 11	bitr4i 267	. . 3 |- ( ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) <-> ( x =/= y -> E. o e. J ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( -. x e. o /\ y e. o ) ) ) )
13	12	2ralbii 2981	. 2 |- ( A. x e. X A. y e. X ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) <-> A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. o e. J ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( -. x e. o /\ y e. o ) ) ) )
14	1, 13	syl6bb 276	1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Kol2 <-> A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. o e. J ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( -. x e. o /\ y e. o ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   ` cfv 5888  TopOnctopon 20715   Kol2ct0 21110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-topon 20716  df-t0 21117

This theorem is referenced by: (None)