Theorem ist0-2 21148

Description: The predicate "is a T₀ space". (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ist0-2	|- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Kol2 <-> A. x e. X A. y e. X ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, o, J   o, X, x, y

Proof of Theorem ist0-2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 20718	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
2		eqid 2622	. . . . 5 |- U. J = U. J
3	2	ist0 21124	. . . 4 |- ( J e. Kol2 <-> ( J e. Top /\ A. x e. U. J A. y e. U. J ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) ) )
4	3	baib 944	. . 3 |- ( J e. Top -> ( J e. Kol2 <-> A. x e. U. J A. y e. U. J ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) ) )
5	1, 4	syl 17	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Kol2 <-> A. x e. U. J A. y e. U. J ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) ) )
6		toponuni 20719	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
7	6	raleqdv 3144	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. y e. X ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) <-> A. y e. U. J ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) ) )
8	6, 7	raleqbidv 3152	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) <-> A. x e. U. J A. y e. U. J ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) ) )
9	5, 8	bitr4d 271	1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Kol2 <-> A. x e. X A. y e. X ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   e. wcel 1990   A.wral 2912   U.cuni 4436   ` cfv 5888   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Kol2ct0 21110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-topon 20716  df-t0 21117

This theorem is referenced by:  ist0-3  21149  t1t0  21152  ist0-4  21532  kqt0lem  21539  tgpt0  21922  onsuct0  32440