Theorem iunab 4566

Description: The indexed union of a class abstraction. (Contributed by NM, 27-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
iunab	|- U_ x e. A { y | ph } = { y | E. x e. A ph }

Distinct variable groups:   y, A   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)

Proof of Theorem iunab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ y A
2		nfab1 2766	. . . 4 |- F/_ y { y | ph }
3	1, 2	nfiun 4548	. . 3 |- F/_ y U_ x e. A { y | ph }
4		nfab1 2766	. . 3 |- F/_ y { y | E. x e. A ph }
5	3, 4	cleqf 2790	. 2 |- ( U_ x e. A { y | ph } = { y | E. x e. A ph } <-> A. y ( y e. U_ x e. A { y | ph } <-> y e. { y | E. x e. A ph } ) )
6		abid 2610	. . . 4 |- ( y e. { y | ph } <-> ph )
7	6	rexbii 3041	. . 3 |- ( E. x e. A y e. { y | ph } <-> E. x e. A ph )
8		eliun 4524	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A { y | ph } <-> E. x e. A y e. { y | ph } )
9		abid 2610	. . 3 |- ( y e. { y | E. x e. A ph } <-> E. x e. A ph )
10	7, 8, 9	3bitr4i 292	. 2 |- ( y e. U_ x e. A { y | ph } <-> y e. { y | E. x e. A ph } )
11	5, 10	mpgbir 1726	1 |- U_ x e. A { y | ph } = { y | E. x e. A ph }

Syntax hints:   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   U_ciun 4520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-iun 4522

This theorem is referenced by:  iunrab  4567  iunid  4575  dfimafn2  6246  rabiun  33382  dfaimafn2  41246  rnfdmpr  41300