Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdval Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem lcdval 36878
Description: Dual vector space of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdval.h |- H = ( LHyp ` K )
lcdval.o |- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
lcdval.c |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
lcdval.u |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lcdval.f |- F = (LFnl ` U )
lcdval.l |- L = (LKer ` U )
lcdval.d |- D = (LDual ` U )
lcdval.k |- ( ph -> ( K e. X /\ W e. H ) )
Assertion
Ref Expression
lcdval |- ( ph -> C = ( D ↾s { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } ) )
Distinct variable groups:   f, K   f, F   f, W
Allowed substitution hints:   ph( f)   C( f)   D( f)   U( f)   H( f)   L( f)   ._|_ ( f)   X( f)
Proof of Theorem lcdval
Dummy variable w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcdval.k . 2 |- ( ph -> ( K e. X /\ W e. H ) )
2 lcdval.c . . . 4 |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
3 lcdval.h . . . . . 6 |- H = ( LHyp ` K )
43lcdfval 36877 . . . . 5 |- ( K e. X -> (LCDual ` K ) = ( w e. H |-> ( (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ↾s { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) ) )
54fveq1d 6193 . . . 4 |- ( K e. X -> ( (LCDual ` K ) ` W ) = ( ( w e. H |-> ( (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ↾s { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) ) ` W ) )
62, 5syl5eq 2668 . . 3 |- ( K e. X -> C = ( ( w e. H |-> ( (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ↾s { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) ) ` W ) )
7 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( ( DVecH ` K ) ` w ) = ( ( DVecH ` K ) ` W ) )
8 lcdval.u . . . . . . . 8 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
97, 8syl6eqr 2674 . . . . . . 7 |- ( w = W -> ( ( DVecH ` K ) ` w ) = U )
109fveq2d 6195 . . . . . 6 |- ( w = W -> (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) = (LDual ` U ) )
11 lcdval.d . . . . . 6 |- D = (LDual ` U )
1210, 11syl6eqr 2674 . . . . 5 |- ( w = W -> (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) = D )
139fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( w = W -> (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) = (LFnl ` U ) )
14 lcdval.f . . . . . . 7 |- F = (LFnl ` U )
1513, 14syl6eqr 2674 . . . . . 6 |- ( w = W -> (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) = F )
16 fveq2 6191 . . . . . . . . 9 |- ( w = W -> ( ( ocH ` K ) ` w ) = ( ( ocH ` K ) ` W ) )
17 lcdval.o . . . . . . . . 9 |- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
1816, 17syl6eqr 2674 . . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( ( ocH ` K ) ` w ) = ._|_ )
199fveq2d 6195 . . . . . . . . . . 11 |- ( w = W -> (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) = (LKer ` U ) )
20 lcdval.l . . . . . . . . . . 11 |- L = (LKer ` U )
2119, 20syl6eqr 2674 . . . . . . . . . 10 |- ( w = W -> (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) = L )
2221fveq1d 6193 . . . . . . . . 9 |- ( w = W -> ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) = ( L ` f ) )
2318, 22fveq12d 6197 . . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) = ( ._|_ ` ( L ` f ) ) )
2418, 23fveq12d 6197 . . . . . . 7 |- ( w = W -> ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) )
2524, 22eqeq12d 2637 . . . . . 6 |- ( w = W -> ( ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) ) )
2615, 25rabeqbidv 3195 . . . . 5 |- ( w = W -> { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } = { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } )
2712, 26oveq12d 6668 . . . 4 |- ( w = W -> ( (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ↾s { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) = ( D ↾s { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } ) )
28 eqid 2622 . . . 4 |- ( w e. H |-> ( (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ↾s { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) ) = ( w e. H |-> ( (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ↾s { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) )
29 ovex 6678 . . . 4 |- ( D ↾s { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } ) e. _V
3027, 28, 29fvmpt 6282 . . 3 |- ( W e. H -> ( ( w e. H |-> ( (LDual ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ↾s { f e. (LFnl ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) | ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) ) ) = ( (LKer ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ` f ) } ) ) ` W ) = ( D ↾s { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } ) )
316, 30sylan9eq 2676 . 2 |- ( ( K e. X /\ W e. H ) -> C = ( D ↾s { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } ) )
321, 31syl 17 1 |- ( ph -> C = ( D ↾s { f e. F | ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾s cress 15858  LFnlclfn 34344  LKerclk 34372  LDualcld 34410   LHypclh 35270   DVecHcdvh 36367   ocHcoch 36636  LCDualclcd 36875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-lcdual 36876
This theorem is referenced by:  lcdval2  36879  lcdlvec  36880  lcdvadd  36886  lcdsca  36888  lcdvs  36892  lcd0v  36900  lcdlsp  36910
  Copyright terms: Public domain W3C validator