Theorem neiptopuni 20934

Description: Lemma for neiptopreu 20937. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
neiptop.o	|- J = { a e. ~P X | A. p e. a a e. ( N ` p ) }
neiptop.0	|- ( ph -> N : X --> ~P ~P X )
neiptop.1	|- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> b e. ( N ` p ) )
neiptop.2	|- ( ( ph /\ p e. X ) -> ( fi ` ( N ` p ) ) C_ ( N ` p ) )
neiptop.3	|- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> p e. a )
neiptop.4	|- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b a e. ( N ` q ) )
neiptop.5	|- ( ( ph /\ p e. X ) -> X e. ( N ` p ) )

Assertion

Ref	Expression
neiptopuni	|- ( ph -> X = U. J )

Distinct variable groups:   p, a   N, a   X, a   a, b, p   J, a, p   X, p   ph, p

Allowed substitution hints:   ph( q, a, b)   J( q, b)   N( q, p, b)   X( q, b)

Proof of Theorem neiptopuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 4168	. . . . . . . 8 |- ( a e. ~P X -> a C_ X )
2	1	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( p e. U. J /\ a e. ~P X ) /\ p e. a ) -> a C_ X )
3		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( p e. U. J /\ a e. ~P X ) /\ p e. a ) -> p e. a )
4	2, 3	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ( ( p e. U. J /\ a e. ~P X ) /\ p e. a ) -> p e. X )
5		neiptop.o	. . . . . . . . . 10 |- J = { a e. ~P X | A. p e. a a e. ( N ` p ) }
6	5	unieqi 4445	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. { a e. ~P X | A. p e. a a e. ( N ` p ) }
7	6	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 |- ( p e. U. J <-> p e. U. { a e. ~P X | A. p e. a a e. ( N ` p ) } )
8		elunirab 4448	. . . . . . . 8 |- ( p e. U. { a e. ~P X | A. p e. a a e. ( N ` p ) } <-> E. a e. ~P X ( p e. a /\ A. p e. a a e. ( N ` p ) ) )
9	7, 8	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( p e. U. J <-> E. a e. ~P X ( p e. a /\ A. p e. a a e. ( N ` p ) ) )
10		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. a /\ A. p e. a a e. ( N ` p ) ) -> p e. a )
11	10	reximi 3011	. . . . . . 7 |- ( E. a e. ~P X ( p e. a /\ A. p e. a a e. ( N ` p ) ) -> E. a e. ~P X p e. a )
12	9, 11	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( p e. U. J -> E. a e. ~P X p e. a )
13	4, 12	r19.29a 3078	. . . . 5 |- ( p e. U. J -> p e. X )
14	13	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( p e. U. J -> p e. X ) )
15	14	ssrdv 3609	. . 3 |- ( ph -> U. J C_ X )
16		ssid 3624	. . . . 5 |- X C_ X
17	16	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> X C_ X )
18		neiptop.5	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. X ) -> X e. ( N ` p ) )
19	18	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. p e. X X e. ( N ` p ) )
20	5	neipeltop 20933	. . . 4 |- ( X e. J <-> ( X C_ X /\ A. p e. X X e. ( N ` p ) ) )
21	17, 19, 20	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ph -> X e. J )
22		unissel 4468	. . 3 |- ( ( U. J C_ X /\ X e. J ) -> U. J = X )
23	15, 21, 22	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> U. J = X )
24	23	eqcomd 2628	1 |- ( ph -> X = U. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   -->wf 5884   ` cfv 5888   ficfi 8316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-pw 4160  df-uni 4437

This theorem is referenced by:  neiptoptop  20935  neiptopnei  20936  neiptopreu  20937