Theorem nllyi 21278

Description: The property of an n-locally A topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nllyi	|- ( ( J e. 𝑛Locally A /\ U e. J /\ P e. U ) -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) )

Distinct variable groups:   u, A   u, P   u, U   u, J

Proof of Theorem nllyi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isnlly 21272	. . . 4 |- ( J e. 𝑛Locally A <-> ( J e. Top /\ A. x e. J A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. A ) )
2	1	simprbi 480	. . 3 |- ( J e. 𝑛Locally A -> A. x e. J A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. A )
3		pweq 4161	. . . . . . 7 |- ( x = U -> ~P x = ~P U )
4	3	ineq2d 3814	. . . . . 6 |- ( x = U -> ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) = ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) )
5	4	rexeqdv 3145	. . . . 5 |- ( x = U -> ( E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. A <-> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) ( J ↾t u ) e. A ) )
6	5	raleqbi1dv 3146	. . . 4 |- ( x = U -> ( A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. A <-> A. y e. U E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) ( J ↾t u ) e. A ) )
7	6	rspccva 3308	. . 3 |- ( ( A. x e. J A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. A /\ U e. J ) -> A. y e. U E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) ( J ↾t u ) e. A )
8	2, 7	sylan 488	. 2 |- ( ( J e. 𝑛Locally A /\ U e. J ) -> A. y e. U E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) ( J ↾t u ) e. A )
9		elin 3796	. . . . . . 7 |- ( u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) <-> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) /\ u e. ~P U ) )
10		sneq 4187	. . . . . . . . . 10 |- ( y = P -> { y } = { P } )
11	10	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( y = P -> ( ( nei ` J ) ` { y } ) = ( ( nei ` J ) ` { P } ) )
12	11	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( y = P -> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) <-> u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) )
13		selpw 4165	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ~P U <-> u C_ U )
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( y = P -> ( u e. ~P U <-> u C_ U ) )
15	12, 14	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( y = P -> ( ( u e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) /\ u e. ~P U ) <-> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ u C_ U ) ) )
16	9, 15	syl5bb 272	. . . . . 6 |- ( y = P -> ( u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) <-> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ u C_ U ) ) )
17	16	anbi1d 741	. . . . 5 |- ( y = P -> ( ( u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) /\ ( J ↾t u ) e. A ) <-> ( ( u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ u C_ U ) /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) )
18		anass 681	. . . . 5 |- ( ( ( u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ u C_ U ) /\ ( J ↾t u ) e. A ) <-> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) )
19	17, 18	syl6bb 276	. . . 4 |- ( y = P -> ( ( u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) /\ ( J ↾t u ) e. A ) <-> ( u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) )
20	19	rexbidv2 3048	. . 3 |- ( y = P -> ( E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) ( J ↾t u ) e. A <-> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) )
21	20	rspccva 3308	. 2 |- ( ( A. y e. U E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P U ) ( J ↾t u ) e. A /\ P e. U ) -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) )
22	8, 21	stoic3 1701	1 |- ( ( J e. 𝑛Locally A /\ U e. J /\ P e. U ) -> E. u e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( u C_ U /\ ( J ↾t u ) e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081   Topctop 20698   neicnei 20901  𝑛Locally cnlly 21268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-nlly 21270

This theorem is referenced by:  nlly2i  21279  llycmpkgen  21355