Theorem llyi 21277

Description: The property of a locally A topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
llyi	|- ( ( J e. Locally A /\ U e. J /\ P e. U ) -> E. u e. J ( u C_ U /\ P e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) )

Distinct variable groups:   u, A   u, P   u, U   u, J

Proof of Theorem llyi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islly 21271	. . . 4 |- ( J e. Locally A <-> ( J e. Top /\ A. x e. J A. y e. x E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) )
2	1	simprbi 480	. . 3 |- ( J e. Locally A -> A. x e. J A. y e. x E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) )
3		pweq 4161	. . . . . . 7 |- ( x = U -> ~P x = ~P U )
4	3	ineq2d 3814	. . . . . 6 |- ( x = U -> ( J i^i ~P x ) = ( J i^i ~P U ) )
5	4	rexeqdv 3145	. . . . 5 |- ( x = U -> ( E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) <-> E. u e. ( J i^i ~P U ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) )
6	5	raleqbi1dv 3146	. . . 4 |- ( x = U -> ( A. y e. x E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) <-> A. y e. U E. u e. ( J i^i ~P U ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) )
7	6	rspccva 3308	. . 3 |- ( ( A. x e. J A. y e. x E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) /\ U e. J ) -> A. y e. U E. u e. ( J i^i ~P U ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) )
8	2, 7	sylan 488	. 2 |- ( ( J e. Locally A /\ U e. J ) -> A. y e. U E. u e. ( J i^i ~P U ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) )
9		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( y = P -> ( y e. u <-> P e. u ) )
10	9	anbi1d 741	. . . . . 6 |- ( y = P -> ( ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) <-> ( P e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) )
11	10	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( y = P -> ( ( u e. ( J i^i ~P U ) /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) <-> ( u e. ( J i^i ~P U ) /\ ( P e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) )
12		anass 681	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. J /\ u C_ U ) /\ ( P e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) <-> ( u e. J /\ ( u C_ U /\ ( P e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) )
13		elin 3796	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( J i^i ~P U ) <-> ( u e. J /\ u e. ~P U ) )
14		selpw 4165	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ~P U <-> u C_ U )
15	14	anbi2i 730	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. J /\ u e. ~P U ) <-> ( u e. J /\ u C_ U ) )
16	13, 15	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( u e. ( J i^i ~P U ) <-> ( u e. J /\ u C_ U ) )
17	16	anbi1i 731	. . . . . 6 |- ( ( u e. ( J i^i ~P U ) /\ ( P e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) <-> ( ( u e. J /\ u C_ U ) /\ ( P e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) )
18		3anass 1042	. . . . . . 7 |- ( ( u C_ U /\ P e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) <-> ( u C_ U /\ ( P e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) )
19	18	anbi2i 730	. . . . . 6 |- ( ( u e. J /\ ( u C_ U /\ P e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) <-> ( u e. J /\ ( u C_ U /\ ( P e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) )
20	12, 17, 19	3bitr4i 292	. . . . 5 |- ( ( u e. ( J i^i ~P U ) /\ ( P e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) <-> ( u e. J /\ ( u C_ U /\ P e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) )
21	11, 20	syl6bb 276	. . . 4 |- ( y = P -> ( ( u e. ( J i^i ~P U ) /\ ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) <-> ( u e. J /\ ( u C_ U /\ P e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) ) )
22	21	rexbidv2 3048	. . 3 |- ( y = P -> ( E. u e. ( J i^i ~P U ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) <-> E. u e. J ( u C_ U /\ P e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) ) )
23	22	rspccva 3308	. 2 |- ( ( A. y e. U E. u e. ( J i^i ~P U ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) /\ P e. U ) -> E. u e. J ( u C_ U /\ P e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) )
24	8, 23	stoic3 1701	1 |- ( ( J e. Locally A /\ U e. J /\ P e. U ) -> E. u e. J ( u C_ U /\ P e. u /\ ( J ↾t u ) e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081   Topctop 20698  Locally clly 21267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-lly 21269

This theorem is referenced by:  llynlly  21280  islly2  21287  llyrest  21288  llyidm  21291  nllyidm  21292  lly1stc  21299  dislly  21300  txlly  21439  cvmlift2lem10  31294