Theorem opcon3b 34483

Description: Contraposition law for orthoposets. (chcon3i 28325 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opoccl.b	|- B = ( Base ` K )
opoccl.o	|- ._|_ = ( oc ` K )

Assertion

Ref	Expression
opcon3b	|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X = Y <-> ( ._|_ ` Y ) = ( ._|_ ` X ) ) )

Proof of Theorem opcon3b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . 3 |- ( Y = X -> ( ._|_ ` Y ) = ( ._|_ ` X ) )
2	1	eqcoms 2630	. 2 |- ( X = Y -> ( ._|_ ` Y ) = ( ._|_ ` X ) )
3		fveq2 6191	. . . 4 |- ( ( ._|_ ` X ) = ( ._|_ ` Y ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) )
4	3	eqcoms 2630	. . 3 |- ( ( ._|_ ` Y ) = ( ._|_ ` X ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) )
5		opoccl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` K )
6		opoccl.o	. . . . . 6 |- ._|_ = ( oc ` K )
7	5, 6	opococ 34482	. . . . 5 |- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X )
8	7	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X )
9	5, 6	opococ 34482	. . . . 5 |- ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
10	9	3adant2 1080	. . . 4 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
11	8, 10	eqeq12d 2637	. . 3 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) <-> X = Y ) )
12	4, 11	syl5ib 234	. 2 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` Y ) = ( ._|_ ` X ) -> X = Y ) )
13	2, 12	impbid2 216	1 |- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X = Y <-> ( ._|_ ` Y ) = ( ._|_ ` X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888   Basecbs 15857   occoc 15949   OPcops 34459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oposet 34463

This theorem is referenced by:  opcon2b  34484  omllaw4  34533  cmtbr2N  34540  cvrcmp2  34571  lhpmod2i2  35324  lhpmod6i1  35325