Theorem prter2 34166

Description: The quotient set of the equivalence relation generated by a partition equals the partition itself. (Contributed by Rodolfo Medina, 17-Oct-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
prtlem18.1	|- .~ = { <. x , y >. | E. u e. A ( x e. u /\ y e. u ) }

Assertion

Ref	Expression
prter2	|- ( Prt A -> ( U. A /. .~ ) = ( A \ { (/) } ) )

Distinct variable group:   x, u, y, A

Allowed substitution hints:   .~ ( x, y, u)

Proof of Theorem prter2

Dummy variables p v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom4 3225	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. v e. A E. z ( z e. v /\ p = [ z ] .~ ) <-> E. z E. v e. A ( z e. v /\ p = [ z ] .~ ) )
2		r19.41v 3089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. v e. A ( z e. v /\ p = [ z ] .~ ) <-> ( E. v e. A z e. v /\ p = [ z ] .~ ) )
3	2	exbii 1774	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z E. v e. A ( z e. v /\ p = [ z ] .~ ) <-> E. z ( E. v e. A z e. v /\ p = [ z ] .~ ) )
4	1, 3	bitri 264	. . . . . . . . . 10 |- ( E. v e. A E. z ( z e. v /\ p = [ z ] .~ ) <-> E. z ( E. v e. A z e. v /\ p = [ z ] .~ ) )
5		df-rex 2918	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. v p = [ z ] .~ <-> E. z ( z e. v /\ p = [ z ] .~ ) )
6	5	rexbii 3041	. . . . . . . . . 10 |- ( E. v e. A E. z e. v p = [ z ] .~ <-> E. v e. A E. z ( z e. v /\ p = [ z ] .~ ) )
7		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- p e. _V
8	7	elqs 7799	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. ( U. A /. .~ ) <-> E. z e. U. A p = [ z ] .~ )
9		df-rex 2918	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z e. U. A p = [ z ] .~ <-> E. z ( z e. U. A /\ p = [ z ] .~ ) )
10		eluni2 4440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. U. A <-> E. v e. A z e. v )
11	10	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. U. A /\ p = [ z ] .~ ) <-> ( E. v e. A z e. v /\ p = [ z ] .~ ) )
12	11	exbii 1774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z ( z e. U. A /\ p = [ z ] .~ ) <-> E. z ( E. v e. A z e. v /\ p = [ z ] .~ ) )
13	9, 12	bitri 264	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. U. A p = [ z ] .~ <-> E. z ( E. v e. A z e. v /\ p = [ z ] .~ ) )
14	8, 13	bitri 264	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. ( U. A /. .~ ) <-> E. z ( E. v e. A z e. v /\ p = [ z ] .~ ) )
15	4, 6, 14	3bitr4ri 293	. . . . . . . . 9 |- ( p e. ( U. A /. .~ ) <-> E. v e. A E. z e. v p = [ z ] .~ )
16		prtlem18.1	. . . . . . . . . . . 12 |- .~ = { <. x , y >. | E. u e. A ( x e. u /\ y e. u ) }
17	16	prtlem19 34163	. . . . . . . . . . 11 |- ( Prt A -> ( ( v e. A /\ z e. v ) -> v = [ z ] .~ ) )
18	17	ralrimivv 2970	. . . . . . . . . 10 |- ( Prt A -> A. v e. A A. z e. v v = [ z ] .~ )
19		2r19.29 3079	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. v e. A A. z e. v v = [ z ] .~ /\ E. v e. A E. z e. v p = [ z ] .~ ) -> E. v e. A E. z e. v ( v = [ z ] .~ /\ p = [ z ] .~ ) )
20	19	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( A. v e. A A. z e. v v = [ z ] .~ -> ( E. v e. A E. z e. v p = [ z ] .~ -> E. v e. A E. z e. v ( v = [ z ] .~ /\ p = [ z ] .~ ) ) )
21	18, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( Prt A -> ( E. v e. A E. z e. v p = [ z ] .~ -> E. v e. A E. z e. v ( v = [ z ] .~ /\ p = [ z ] .~ ) ) )
22	15, 21	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( Prt A -> ( p e. ( U. A /. .~ ) -> E. v e. A E. z e. v ( v = [ z ] .~ /\ p = [ z ] .~ ) ) )
23		eqtr3 2643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v = [ z ] .~ /\ p = [ z ] .~ ) -> v = p )
24	23	reximi 3011	. . . . . . . . 9 |- ( E. z e. v ( v = [ z ] .~ /\ p = [ z ] .~ ) -> E. z e. v v = p )
25	24	reximi 3011	. . . . . . . 8 |- ( E. v e. A E. z e. v ( v = [ z ] .~ /\ p = [ z ] .~ ) -> E. v e. A E. z e. v v = p )
26	22, 25	syl6 35	. . . . . . 7 |- ( Prt A -> ( p e. ( U. A /. .~ ) -> E. v e. A E. z e. v v = p ) )
27		df-rex 2918	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. v v = p <-> E. z ( z e. v /\ v = p ) )
28		19.41v 1914	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z ( z e. v /\ v = p ) <-> ( E. z z e. v /\ v = p ) )
29	27, 28	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( E. z e. v v = p <-> ( E. z z e. v /\ v = p ) )
30	29	simprbi 480	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. v v = p -> v = p )
31	30	reximi 3011	. . . . . . 7 |- ( E. v e. A E. z e. v v = p -> E. v e. A v = p )
32	26, 31	syl6 35	. . . . . 6 |- ( Prt A -> ( p e. ( U. A /. .~ ) -> E. v e. A v = p ) )
33		risset 3062	. . . . . 6 |- ( p e. A <-> E. v e. A v = p )
34	32, 33	syl6ibr 242	. . . . 5 |- ( Prt A -> ( p e. ( U. A /. .~ ) -> p e. A ) )
35	16	prtlem400 34155	. . . . . 6 |- -. (/) e. ( U. A /. .~ )
36		nelelne 2892	. . . . . 6 |- ( -. (/) e. ( U. A /. .~ ) -> ( p e. ( U. A /. .~ ) -> p =/= (/) ) )
37	35, 36	mp1i 13	. . . . 5 |- ( Prt A -> ( p e. ( U. A /. .~ ) -> p =/= (/) ) )
38	34, 37	jcad 555	. . . 4 |- ( Prt A -> ( p e. ( U. A /. .~ ) -> ( p e. A /\ p =/= (/) ) ) )
39		eldifsn 4317	. . . 4 |- ( p e. ( A \ { (/) } ) <-> ( p e. A /\ p =/= (/) ) )
40	38, 39	syl6ibr 242	. . 3 |- ( Prt A -> ( p e. ( U. A /. .~ ) -> p e. ( A \ { (/) } ) ) )
41		neldifsn 4321	. . . . . . 7 |- -. (/) e. ( A \ { (/) } )
42		n0el 3940	. . . . . . 7 |- ( -. (/) e. ( A \ { (/) } ) <-> A. p e. ( A \ { (/) } ) E. z z e. p )
43	41, 42	mpbi 220	. . . . . 6 |- A. p e. ( A \ { (/) } ) E. z z e. p
44	43	rspec 2931	. . . . 5 |- ( p e. ( A \ { (/) } ) -> E. z z e. p )
45		eldifi 3732	. . . . 5 |- ( p e. ( A \ { (/) } ) -> p e. A )
46	44, 45	jca 554	. . . 4 |- ( p e. ( A \ { (/) } ) -> ( E. z z e. p /\ p e. A ) )
47	16	prtlem19 34163	. . . . . . . . 9 |- ( Prt A -> ( ( p e. A /\ z e. p ) -> p = [ z ] .~ ) )
48	47	ancomsd 470	. . . . . . . 8 |- ( Prt A -> ( ( z e. p /\ p e. A ) -> p = [ z ] .~ ) )
49		elunii 4441	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. p /\ p e. A ) -> z e. U. A )
50	48, 49	jca2r 34139	. . . . . . 7 |- ( Prt A -> ( ( z e. p /\ p e. A ) -> ( z e. U. A /\ p = [ z ] .~ ) ) )
51		prtlem11 34151	. . . . . . . . 9 |- ( p e. _V -> ( z e. U. A -> ( p = [ z ] .~ -> p e. ( U. A /. .~ ) ) ) )
52	7, 51	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( z e. U. A -> ( p = [ z ] .~ -> p e. ( U. A /. .~ ) ) )
53	52	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( z e. U. A /\ p = [ z ] .~ ) -> p e. ( U. A /. .~ ) )
54	50, 53	syl6 35	. . . . . 6 |- ( Prt A -> ( ( z e. p /\ p e. A ) -> p e. ( U. A /. .~ ) ) )
55	54	eximdv 1846	. . . . 5 |- ( Prt A -> ( E. z ( z e. p /\ p e. A ) -> E. z p e. ( U. A /. .~ ) ) )
56		19.41v 1914	. . . . 5 |- ( E. z ( z e. p /\ p e. A ) <-> ( E. z z e. p /\ p e. A ) )
57		19.9v 1896	. . . . 5 |- ( E. z p e. ( U. A /. .~ ) <-> p e. ( U. A /. .~ ) )
58	55, 56, 57	3imtr3g 284	. . . 4 |- ( Prt A -> ( ( E. z z e. p /\ p e. A ) -> p e. ( U. A /. .~ ) ) )
59	46, 58	syl5 34	. . 3 |- ( Prt A -> ( p e. ( A \ { (/) } ) -> p e. ( U. A /. .~ ) ) )
60	40, 59	impbid 202	. 2 |- ( Prt A -> ( p e. ( U. A /. .~ ) <-> p e. ( A \ { (/) } ) ) )
61	60	eqrdv 2620	1 |- ( Prt A -> ( U. A /. .~ ) = ( A \ { (/) } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   {copab 4712   [cec 7740   /.cqs 7741   Prt wprt 34156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ec 7744  df-qs 7748  df-prt 34157

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