Theorem ralnex3 3046

Description: Relationship between three restricted universal and existential quantifiers. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ralnex3	|- ( A. x e. A A. y e. B A. z e. C -. ph <-> -. E. x e. A E. y e. B E. z e. C ph )

Proof of Theorem ralnex3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		notnotb 304	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B A. z e. C -. ph <-> -. -. A. x e. A A. y e. B A. z e. C -. ph )
2		notnotb 304	. . . . 5 |- ( ph <-> -. -. ph )
3	2	rexbii 3041	. . . 4 |- ( E. z e. C ph <-> E. z e. C -. -. ph )
4	3	2rexbii 3042	. . 3 |- ( E. x e. A E. y e. B E. z e. C ph <-> E. x e. A E. y e. B E. z e. C -. -. ph )
5		rexnal3 3044	. . 3 |- ( E. x e. A E. y e. B E. z e. C -. -. ph <-> -. A. x e. A A. y e. B A. z e. C -. ph )
6	4, 5	bitr2i 265	. 2 |- ( -. A. x e. A A. y e. B A. z e. C -. ph <-> E. x e. A E. y e. B E. z e. C ph )
7	1, 6	xchbinx 324	1 |- ( A. x e. A A. y e. B A. z e. C -. ph <-> -. E. x e. A E. y e. B E. z e. C ph )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   A.wral 2912   E.wrex 2913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 386  df-ex 1705  df-ral 2917  df-rex 2918

This theorem is referenced by:  axtgupdim2  25370