axtgupdim2 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > axtgupdim2		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem axtgupdim2 25370

Description: Upper dimension axiom for dimension 2, Axiom A9 of [Schwabhauser] p. 13. Three points

and

equidistant to two given two points

and

must be colinear. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-May-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Jul-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
axtrkge.p
axtrkge.d
axtrkge.i	Itv
axtgupdim2.x
axtgupdim2.y
axtgupdim2.z
axtgupdim2.u
axtgupdim2.v
axtgupdim2.0
axtgupdim2.1
axtgupdim2.2
axtgupdim2.3
axtgupdim2.w
axtgupdim2.g	Dim_TarskiG≥

**Assertion**
Ref	Expression
axtgupdim2	$\/$ $\/$

Proof of Theorem axtgupdim2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axtgupdim2.1	. . . 4
2		axtgupdim2.2	. . . 4
3		axtgupdim2.3	. . . 4
4	1, 2, 3	3jca 1242	. . 3 $/\$ $/\$
5		axtgupdim2.0	. . . . . . 7
6		axtgupdim2.g	. . . . . . . . . . 11 Dim_TarskiG≥
7		axtgupdim2.w	. . . . . . . . . . . . 13
8		axtrkge.p	. . . . . . . . . . . . . 14
9		axtrkge.d	. . . . . . . . . . . . . 14
10		axtrkge.i	. . . . . . . . . . . . . 14 Itv
11	8, 9, 10	istrkg3ld 25360	. . . . . . . . . . . . 13 Dim_TarskiG≥ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
12	7, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 Dim_TarskiG≥ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
13	12	notbid 308	. . . . . . . . . . 11 Dim_TarskiG≥ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
14	6, 13	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
15		ralnex2 3045	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
16	14, 15	sylibr 224	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
17		axtgupdim2.u	. . . . . . . . . 10
18		axtgupdim2.v	. . . . . . . . . 10
19		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . 13
20		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
21	20	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
22		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
23	22	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
24		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
25	24	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
26	21, 23, 25	3anbi123d 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27	26	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
28	27	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
29	28	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
30	29	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
31	19, 30	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
32	31	notbid 308	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
33		neeq2 2857	. . . . . . . . . . . . 13
34		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
35	34	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
36		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
37	36	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
38		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
39	38	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
40	35, 37, 39	3anbi123d 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	40	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
42	41	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
43	42	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
44	43	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
45	33, 44	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
46	45	notbid 308	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
47	32, 46	rspc2v 3322	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
48	17, 18, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
49	16, 48	mpd 15	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
50		imnan 438	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
51	49, 50	sylibr 224	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
52	5, 51	mpd 15	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
53		ralnex3 3046	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
54	52, 53	sylibr 224	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
55		axtgupdim2.x	. . . . . 6
56		axtgupdim2.y	. . . . . 6
57		axtgupdim2.z	. . . . . 6
58		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11
59		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11
60	58, 59	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10
61	60	3anbi1d 1403	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12
63	62	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11
64		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11
65		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12
66	65	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11
67	63, 64, 66	3orbi123d 1398	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
68	67	notbid 308	. . . . . . . . 9 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
69	61, 68	anbi12d 747	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
70	69	notbid 308	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
71		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11
72		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11
73	71, 72	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10
74	73	3anbi2d 1404	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12
76	75	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11
77		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12
78	77	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11
79		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11
80	76, 78, 79	3orbi123d 1398	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
81	80	notbid 308	. . . . . . . . 9 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
82	74, 81	anbi12d 747	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
83	82	notbid 308	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
84		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11
85		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11
86	84, 85	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10
87	86	3anbi3d 1405	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11
89		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12
90	89	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11
91		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12
92	91	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11
93	88, 90, 92	3orbi123d 1398	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
94	93	notbid 308	. . . . . . . . 9 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
95	87, 94	anbi12d 747	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
96	95	notbid 308	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
97	70, 83, 96	rspc3v 3325	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
98	55, 56, 57, 97	syl3anc 1326	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
99	54, 98	mpd 15	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
100		imnan 438	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
101	99, 100	sylibr 224	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
102	4, 101	mpd 15	. 2 $\/$ $\/$
103	102	notnotrd 128	1 $\/$ $\/$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $\/$ w3o 1036 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

c3 11071

cbs 15857

cds 15950 Dim_TarskiG≥cstrkgld 25333 Itvcitv 25335

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-trkgld 25351

This theorem is referenced by: (None)

W3C validator