Theorem reuss2 3907

Description: Transfer uniqueness to a smaller subclass. (Contributed by NM, 20-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reuss2	|- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) ) -> E! x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)

Proof of Theorem reuss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2918	. . 3 |- ( E. x e. A ph <-> E. x ( x e. A /\ ph ) )
2		df-reu 2919	. . 3 |- ( E! x e. B ps <-> E! x ( x e. B /\ ps ) )
3	1, 2	anbi12i 733	. 2 |- ( ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E! x ( x e. B /\ ps ) ) )
4		df-ral 2917	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( ph -> ps ) <-> A. x ( x e. A -> ( ph -> ps ) ) )
5		ssel 3597	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ B -> ( x e. A -> x e. B ) )
6		pm3.2 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. B -> ( ps -> ( x e. B /\ ps ) ) )
7	6	imim2d 57	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. B -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ( x e. B /\ ps ) ) ) )
8	5, 7	syl6 35	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ B -> ( x e. A -> ( ( ph -> ps ) -> ( ph -> ( x e. B /\ ps ) ) ) ) )
9	8	a2d 29	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ B -> ( ( x e. A -> ( ph -> ps ) ) -> ( x e. A -> ( ph -> ( x e. B /\ ps ) ) ) ) )
10	9	imp4a 614	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ B -> ( ( x e. A -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( x e. A /\ ph ) -> ( x e. B /\ ps ) ) ) )
11	10	alimdv 1845	. . . . . . . 8 |- ( A C_ B -> ( A. x ( x e. A -> ( ph -> ps ) ) -> A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> ( x e. B /\ ps ) ) ) )
12	11	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ B /\ A. x ( x e. A -> ( ph -> ps ) ) ) -> A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> ( x e. B /\ ps ) ) )
13	4, 12	sylan2b 492	. . . . . 6 |- ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) -> A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> ( x e. B /\ ps ) ) )
14		euimmo 2522	. . . . . 6 |- ( A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> ( x e. B /\ ps ) ) -> ( E! x ( x e. B /\ ps ) -> E* x ( x e. A /\ ph ) ) )
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 |- ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) -> ( E! x ( x e. B /\ ps ) -> E* x ( x e. A /\ ph ) ) )
16		eu5 2496	. . . . . 6 |- ( E! x ( x e. A /\ ph ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E* x ( x e. A /\ ph ) ) )
17	16	simplbi2 655	. . . . 5 |- ( E. x ( x e. A /\ ph ) -> ( E* x ( x e. A /\ ph ) -> E! x ( x e. A /\ ph ) ) )
18	15, 17	syl9 77	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) -> ( E. x ( x e. A /\ ph ) -> ( E! x ( x e. B /\ ps ) -> E! x ( x e. A /\ ph ) ) ) )
19	18	imp32 449	. . 3 |- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E! x ( x e. B /\ ps ) ) ) -> E! x ( x e. A /\ ph ) )
20		df-reu 2919	. . 3 |- ( E! x e. A ph <-> E! x ( x e. A /\ ph ) )
21	19, 20	sylibr 224	. 2 |- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E! x ( x e. B /\ ps ) ) ) -> E! x e. A ph )
22	3, 21	sylan2b 492	1 |- ( ( ( A C_ B /\ A. x e. A ( ph -> ps ) ) /\ ( E. x e. A ph /\ E! x e. B ps ) ) -> E! x e. A ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   E*wmo 2471   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   C_ wss 3574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-in 3581  df-ss 3588

This theorem is referenced by:  reuss  3908  reuun1  3909  riotass2  6638