Theorem rmo4fOLD 29336

Description: Restricted "at most one" using implicit substitution. (Contributed by NM, 24-Oct-2006.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Oct-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 8-Mar-2017.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rmo4f.1	|- F/_ x A
rmo4f.2	|- F/_ y A
rmo4f.3	|- F/ x ps
rmo4f.4	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rmo4fOLD	|- ( E* x ( x e. A /\ ph ) <-> A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) )

Distinct variable groups:   x, y   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x, y)   A( x, y)

Proof of Theorem rmo4fOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an4 865	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ ps ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ph /\ ps ) ) )
2		ancom 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) <-> ( y e. A /\ x e. A ) )
3	2	anbi1i 731	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ph /\ ps ) ) <-> ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ ( ph /\ ps ) ) )
4	1, 3	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ ps ) ) <-> ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ ( ph /\ ps ) ) )
5	4	imbi1i 339	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ ps ) ) -> x = y ) <-> ( ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ ( ph /\ ps ) ) -> x = y ) )
6		impexp 462	. . . . . 6 |- ( ( ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ ( ph /\ ps ) ) -> x = y ) <-> ( ( y e. A /\ x e. A ) -> ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) )
7		impexp 462	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. A /\ x e. A ) -> ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) <-> ( y e. A -> ( x e. A -> ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) ) )
8	5, 6, 7	3bitri 286	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ ps ) ) -> x = y ) <-> ( y e. A -> ( x e. A -> ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) ) )
9	8	albii 1747	. . . 4 |- ( A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ ps ) ) -> x = y ) <-> A. y ( y e. A -> ( x e. A -> ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) ) )
10		df-ral 2917	. . . 4 |- ( A. y e. A ( x e. A -> ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) <-> A. y ( y e. A -> ( x e. A -> ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) ) )
11		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ y x
12		rmo4f.2	. . . . . 6 |- F/_ y A
13	11, 12	nfel 2777	. . . . 5 |- F/ y x e. A
14	13	r19.21 2956	. . . 4 |- ( A. y e. A ( x e. A -> ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) <-> ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) )
15	9, 10, 14	3bitr2i 288	. . 3 |- ( A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ ps ) ) -> x = y ) <-> ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) )
16	15	albii 1747	. 2 |- ( A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ ps ) ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) )
17		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ y ph
18	13, 17	nfan 1828	. . . 4 |- F/ y ( x e. A /\ ph )
19	18	mo3 2507	. . 3 |- ( E* x ( x e. A /\ ph ) <-> A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) )
20		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ x y
21		rmo4f.1	. . . . . . . . 9 |- F/_ x A
22	20, 21	nfel 2777	. . . . . . . 8 |- F/ x y e. A
23		rmo4f.3	. . . . . . . 8 |- F/ x ps
24	22, 23	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ x ( y e. A /\ ps )
25		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
26		rmo4f.4	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
27	25, 26	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( x e. A /\ ph ) <-> ( y e. A /\ ps ) ) )
28	24, 27	sbie 2408	. . . . . 6 |- ( [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) <-> ( y e. A /\ ps ) )
29	28	anbi2i 730	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ ps ) ) )
30	29	imbi1i 339	. . . 4 |- ( ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ ps ) ) -> x = y ) )
31	30	2albii 1748	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ ps ) ) -> x = y ) )
32	19, 31	bitri 264	. 2 |- ( E* x ( x e. A /\ ph ) <-> A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ ps ) ) -> x = y ) )
33		df-ral 2917	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) ) )
34	16, 32, 33	3bitr4i 292	1 |- ( E* x ( x e. A /\ ph ) <-> A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ ps ) -> x = y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   F/wnf 1708   [wsb 1880   e. wcel 1990   E*wmo 2471   F/_wnfc 2751   A.wral 2912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917

This theorem is referenced by: (None)