Theorem rmo3f 29335

Description: Restricted "at most one" using explicit substitution. (Contributed by NM, 4-Nov-2012.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 8-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rmo3f.1	|- F/_ x A
rmo3f.2	|- F/_ y A
rmo3f.3	|- F/ y ph

Assertion

Ref	Expression
rmo3f	|- ( E* x e. A ph <-> A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x, y)

Proof of Theorem rmo3f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rmo 2920	. 2 |- ( E* x e. A ph <-> E* x ( x e. A /\ ph ) )
2		sban 2399	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) <-> ( [ y / x ] x e. A /\ [ y / x ] ph ) )
3		rmo3f.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x A
4	3	clelsb3f 2768	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ y / x ] x e. A <-> y e. A )
5	4	anbi1i 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( [ y / x ] x e. A /\ [ y / x ] ph ) <-> ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) )
6	2, 5	bitri 264	. . . . . . . . . 10 |- ( [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) <-> ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) )
7	6	anbi2i 730	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) ) )
8		an4 865	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) )
9		ancom 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) <-> ( y e. A /\ x e. A ) )
10	9	anbi1i 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) <-> ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) )
11	7, 8, 10	3bitri 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) <-> ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) )
12	11	imbi1i 339	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> ( ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) -> x = y ) )
13		impexp 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. A /\ x e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) -> x = y ) <-> ( ( y e. A /\ x e. A ) -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
14		impexp 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. A /\ x e. A ) -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> ( y e. A -> ( x e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
15	12, 13, 14	3bitri 286	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> ( y e. A -> ( x e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
16	15	albii 1747	. . . . 5 |- ( A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> A. y ( y e. A -> ( x e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
17		df-ral 2917	. . . . 5 |- ( A. y e. A ( x e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> A. y ( y e. A -> ( x e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
18		rmo3f.2	. . . . . . 7 |- F/_ y A
19	18	nfcri 2758	. . . . . 6 |- F/ y x e. A
20	19	r19.21 2956	. . . . 5 |- ( A. y e. A ( x e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
21	16, 17, 20	3bitr2i 288	. . . 4 |- ( A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
22	21	albii 1747	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
23		rmo3f.3	. . . . 5 |- F/ y ph
24	19, 23	nfan 1828	. . . 4 |- F/ y ( x e. A /\ ph )
25	24	mo3 2507	. . 3 |- ( E* x ( x e. A /\ ph ) <-> A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) )
26		df-ral 2917	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
27	22, 25, 26	3bitr4i 292	. 2 |- ( E* x ( x e. A /\ ph ) <-> A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )
28	1, 27	bitri 264	1 |- ( E* x e. A ph <-> A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   F/wnf 1708   [wsb 1880   e. wcel 1990   E*wmo 2471   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   E*wrmo 2915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rmo 2920

This theorem is referenced by:  rmo4f  29337