Theorem setrec1lem2 42435

Description: Lemma for setrec1 42438. If a family of sets are all recursively generated by F, so is their union. In this theorem, X is a family of sets which are all elements of Y, and V is any class. Use dfss3 3592, equivalence and equality theorems, and unissb at the end. Sandwich with applications of setrec1lem1. (Contributed by Emmett Weisz, 24-Jan-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
setrec1lem2.1	|- Y = { y | A. z ( A. w ( w C_ y -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) -> y C_ z ) }
setrec1lem2.2	|- ( ph -> X e. V )
setrec1lem2.3	|- ( ph -> X C_ Y )

Assertion

Ref	Expression
setrec1lem2	|- ( ph -> U. X e. Y )

Distinct variable groups:   y, F   w, X, y   z, X, y

Allowed substitution hints:   ph( y, z, w)   F( z, w)   V( y, z, w)   Y( y, z, w)

Proof of Theorem setrec1lem2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setrec1lem2.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ Y )
2		dfss3 3592	. . . . . . 7 |- ( X C_ Y <-> A. x e. X x e. Y )
3	1, 2	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. X x e. Y )
4		setrec1lem2.1	. . . . . . . 8 |- Y = { y | A. z ( A. w ( w C_ y -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) -> y C_ z ) }
5		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> x e. _V )
7	4, 6	setrec1lem1 42434	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. Y <-> A. z ( A. w ( w C_ x -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) -> x C_ z ) ) )
8	7	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. x e. X x e. Y <-> A. x e. X A. z ( A. w ( w C_ x -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) -> x C_ z ) ) )
9	3, 8	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X A. z ( A. w ( w C_ x -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) -> x C_ z ) )
10		ralcom4 3224	. . . . 5 |- ( A. x e. X A. z ( A. w ( w C_ x -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) -> x C_ z ) <-> A. z A. x e. X ( A. w ( w C_ x -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) -> x C_ z ) )
11	9, 10	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> A. z A. x e. X ( A. w ( w C_ x -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) -> x C_ z ) )
12		nfra1 2941	. . . . . 6 |- F/ x A. x e. X ( A. w ( w C_ x -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) -> x C_ z )
13		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ x A. w ( w C_ U. X -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) )
14		rsp 2929	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X ( A. w ( w C_ x -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) -> x C_ z ) -> ( x e. X -> ( A. w ( w C_ x -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) -> x C_ z ) ) )
15		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. X -> x C_ U. X )
16		sstr2 3610	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w C_ x -> ( x C_ U. X -> w C_ U. X ) )
17	15, 16	syl5com 31	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. X -> ( w C_ x -> w C_ U. X ) )
18	17	imim1d 82	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. X -> ( ( w C_ U. X -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) -> ( w C_ x -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) ) )
19	18	alimdv 1845	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X -> ( A. w ( w C_ U. X -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) -> A. w ( w C_ x -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) ) )
20	19	imim1d 82	. . . . . . . 8 |- ( x e. X -> ( ( A. w ( w C_ x -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) -> x C_ z ) -> ( A. w ( w C_ U. X -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) -> x C_ z ) ) )
21	14, 20	sylcom 30	. . . . . . 7 |- ( A. x e. X ( A. w ( w C_ x -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) -> x C_ z ) -> ( x e. X -> ( A. w ( w C_ U. X -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) -> x C_ z ) ) )
22	21	com23 86	. . . . . 6 |- ( A. x e. X ( A. w ( w C_ x -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) -> x C_ z ) -> ( A. w ( w C_ U. X -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) -> ( x e. X -> x C_ z ) ) )
23	12, 13, 22	ralrimd 2959	. . . . 5 |- ( A. x e. X ( A. w ( w C_ x -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) -> x C_ z ) -> ( A. w ( w C_ U. X -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) -> A. x e. X x C_ z ) )
24	23	alimi 1739	. . . 4 |- ( A. z A. x e. X ( A. w ( w C_ x -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) -> x C_ z ) -> A. z ( A. w ( w C_ U. X -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) -> A. x e. X x C_ z ) )
25	11, 24	syl 17	. . 3 |- ( ph -> A. z ( A. w ( w C_ U. X -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) -> A. x e. X x C_ z ) )
26		unissb 4469	. . . . 5 |- ( U. X C_ z <-> A. x e. X x C_ z )
27	26	imbi2i 326	. . . 4 |- ( ( A. w ( w C_ U. X -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) -> U. X C_ z ) <-> ( A. w ( w C_ U. X -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) -> A. x e. X x C_ z ) )
28	27	albii 1747	. . 3 |- ( A. z ( A. w ( w C_ U. X -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) -> U. X C_ z ) <-> A. z ( A. w ( w C_ U. X -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) -> A. x e. X x C_ z ) )
29	25, 28	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> A. z ( A. w ( w C_ U. X -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) -> U. X C_ z ) )
30		setrec1lem2.2	. . . 4 |- ( ph -> X e. V )
31		uniexg 6955	. . . 4 |- ( X e. V -> U. X e. _V )
32	30, 31	syl 17	. . 3 |- ( ph -> U. X e. _V )
33	4, 32	setrec1lem1 42434	. 2 |- ( ph -> ( U. X e. Y <-> A. z ( A. w ( w C_ U. X -> ( w C_ z -> ( F ` w ) C_ z ) ) -> U. X C_ z ) ) )
34	29, 33	mpbird 247	1 |- ( ph -> U. X e. Y )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U.cuni 4436   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-in 3581  df-ss 3588  df-uni 4437

This theorem is referenced by:  setrec1lem3  42436