Theorem suctrALT2VD 39071

Description: Virtual deduction proof of suctrALT2 39072. (Contributed by Alan Sare, 11-Sep-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
suctrALT2VD	|- ( Tr A -> Tr suc A )

Proof of Theorem suctrALT2VD

Dummy variables z y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr2 4754	. . 3 |- ( Tr suc A <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. suc A ) -> z e. suc A ) )
2		sssucid 5802	. . . . . . . 8 |- A C_ suc A
3		idn1 38790	. . . . . . . . 9 |- (. Tr A ->. Tr A ).
4		idn2 38838	. . . . . . . . . 10 |- (. Tr A ,. ( z e. y /\ y e. suc A ) ->. ( z e. y /\ y e. suc A ) ).
5		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. y /\ y e. suc A ) -> z e. y )
6	4, 5	e2 38856	. . . . . . . . 9 |- (. Tr A ,. ( z e. y /\ y e. suc A ) ->. z e. y ).
7		idn3 38840	. . . . . . . . 9 |- (. Tr A ,. ( z e. y /\ y e. suc A ) ,. y e. A ->. y e. A ).
8		trel 4759	. . . . . . . . . 10 |- ( Tr A -> ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) )
9	8	expd 452	. . . . . . . . 9 |- ( Tr A -> ( z e. y -> ( y e. A -> z e. A ) ) )
10	3, 6, 7, 9	e123 38989	. . . . . . . 8 |- (. Tr A ,. ( z e. y /\ y e. suc A ) ,. y e. A ->. z e. A ).
11		ssel 3597	. . . . . . . 8 |- ( A C_ suc A -> ( z e. A -> z e. suc A ) )
12	2, 10, 11	e03 38967	. . . . . . 7 |- (. Tr A ,. ( z e. y /\ y e. suc A ) ,. y e. A ->. z e. suc A ).
13	12	in3 38834	. . . . . 6 |- (. Tr A ,. ( z e. y /\ y e. suc A ) ->. ( y e. A -> z e. suc A ) ).
14		idn3 38840	. . . . . . . . 9 |- (. Tr A ,. ( z e. y /\ y e. suc A ) ,. y = A ->. y = A ).
15		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( z e. y <-> z e. A ) )
16	15	biimpcd 239	. . . . . . . . 9 |- ( z e. y -> ( y = A -> z e. A ) )
17	6, 14, 16	e23 38982	. . . . . . . 8 |- (. Tr A ,. ( z e. y /\ y e. suc A ) ,. y = A ->. z e. A ).
18	2, 17, 11	e03 38967	. . . . . . 7 |- (. Tr A ,. ( z e. y /\ y e. suc A ) ,. y = A ->. z e. suc A ).
19	18	in3 38834	. . . . . 6 |- (. Tr A ,. ( z e. y /\ y e. suc A ) ->. ( y = A -> z e. suc A ) ).
20		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. y /\ y e. suc A ) -> y e. suc A )
21	4, 20	e2 38856	. . . . . . 7 |- (. Tr A ,. ( z e. y /\ y e. suc A ) ->. y e. suc A ).
22		elsuci 5791	. . . . . . 7 |- ( y e. suc A -> ( y e. A \/ y = A ) )
23	21, 22	e2 38856	. . . . . 6 |- (. Tr A ,. ( z e. y /\ y e. suc A ) ->. ( y e. A \/ y = A ) ).
24		jao 534	. . . . . 6 |- ( ( y e. A -> z e. suc A ) -> ( ( y = A -> z e. suc A ) -> ( ( y e. A \/ y = A ) -> z e. suc A ) ) )
25	13, 19, 23, 24	e222 38861	. . . . 5 |- (. Tr A ,. ( z e. y /\ y e. suc A ) ->. z e. suc A ).
26	25	in2 38830	. . . 4 |- (. Tr A ->. ( ( z e. y /\ y e. suc A ) -> z e. suc A ) ).
27	26	gen12 38843	. . 3 |- (. Tr A ->. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. suc A ) -> z e. suc A ) ).
28		biimpr 210	. . 3 |- ( ( Tr suc A <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. suc A ) -> z e. suc A ) ) -> ( A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. suc A ) -> z e. suc A ) -> Tr suc A ) )
29	1, 27, 28	e01 38916	. 2 |- (. Tr A ->. Tr suc A ).
30	29	in1 38787	1 |- ( Tr A -> Tr suc A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   Tr wtr 4752   suc csuc 5725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-v 3202  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-sn 4178  df-uni 4437  df-tr 4753  df-suc 5729  df-vd1 38786  df-vd2 38794  df-vd3 38806

This theorem is referenced by: (None)