Theorem tposfun 7368

Description: The transposition of a function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposfun	|- ( Fun F -> Fun tpos F )

Proof of Theorem tposfun

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 5926	. . 3 |- Fun ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
2		funco 5928	. . 3 |- ( ( Fun F /\ Fun ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) -> Fun ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
3	1, 2	mpan2 707	. 2 |- ( Fun F -> Fun ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
4		df-tpos 7352	. . 3 |- tpos F = ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
5	4	funeqi 5909	. 2 |- ( Fun tpos F <-> Fun ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
6	3, 5	sylibr 224	1 |- ( Fun F -> Fun tpos F )

Syntax hints:   -> wi 4   u. cun 3572   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   o. ccom 5118   Fun wfun 5882  tpos ctpos 7351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-fun 5890  df-tpos 7352

This theorem is referenced by:  tposfn2  7374