Theorem trpredeq2 31721

Description: Equality theorem for transitive predecessors. (Contributed by Scott Fenton, 2-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
trpredeq2	|- ( A = B -> TrPred ( R , A , X ) = TrPred ( R , B , X ) )

Proof of Theorem trpredeq2

Dummy variables a y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		predeq2 5683	. . . . . . 7 |- ( A = B -> Pred ( R , A , y ) = Pred ( R , B , y ) )
2	1	iuneq2d 4547	. . . . . 6 |- ( A = B -> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) = U_ y e. a Pred ( R , B , y ) )
3	2	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( A = B -> ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) = ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , B , y ) ) )
4		predeq2 5683	. . . . 5 |- ( A = B -> Pred ( R , A , X ) = Pred ( R , B , X ) )
5		rdgeq12 7509	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) = ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , B , y ) ) /\ Pred ( R , A , X ) = Pred ( R , B , X ) ) -> rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) = rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , B , y ) ) , Pred ( R , B , X ) ) )
6	5	reseq1d 5395	. . . . 5 |- ( ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) = ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , B , y ) ) /\ Pred ( R , A , X ) = Pred ( R , B , X ) ) -> ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) = ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , B , y ) ) , Pred ( R , B , X ) ) |` om ) )
7	3, 4, 6	syl2anc 693	. . . 4 |- ( A = B -> ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) = ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , B , y ) ) , Pred ( R , B , X ) ) |` om ) )
8	7	rneqd 5353	. . 3 |- ( A = B -> ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) = ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , B , y ) ) , Pred ( R , B , X ) ) |` om ) )
9	8	unieqd 4446	. 2 |- ( A = B -> U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) = U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , B , y ) ) , Pred ( R , B , X ) ) |` om ) )
10		df-trpred 31718	. 2 |- TrPred ( R , A , X ) = U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om )
11		df-trpred 31718	. 2 |- TrPred ( R , B , X ) = U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , B , y ) ) , Pred ( R , B , X ) ) |` om )
12	9, 10, 11	3eqtr4g 2681	1 |- ( A = B -> TrPred ( R , A , X ) = TrPred ( R , B , X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   _Vcvv 3200   U.cuni 4436   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   Predcpred 5679   omcom 7065   reccrdg 7505   TrPredctrpred 31717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-iota 5851  df-fv 5896  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-trpred 31718

This theorem is referenced by:  trpredeq2d  31724