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Theorem undif3OLD 3889
Description: Obsolete proof of undif3 3888 as of 13-Jul-2021. (Contributed by Alan Sare, 17-Apr-2012.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
undif3OLD |- ( A u. ( B \ C ) ) = ( ( A u. B ) \ ( C \ A ) )
Proof of Theorem undif3OLD
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun 3753 . . . 4 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
2 pm4.53 513 . . . . 5 |- ( -. ( x e. C /\ -. x e. A ) <-> ( -. x e. C \/ x e. A ) )
3 eldif 3584 . . . . 5 |- ( x e. ( C \ A ) <-> ( x e. C /\ -. x e. A ) )
42, 3xchnxbir 323 . . . 4 |- ( -. x e. ( C \ A ) <-> ( -. x e. C \/ x e. A ) )
51, 4anbi12i 733 . . 3 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ -. x e. ( C \ A ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) )
6 eldif 3584 . . 3 |- ( x e. ( ( A u. B ) \ ( C \ A ) ) <-> ( x e. ( A u. B ) /\ -. x e. ( C \ A ) ) )
7 elun 3753 . . . 4 |- ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) <-> ( x e. A \/ x e. ( B \ C ) ) )
8 eldif 3584 . . . . 5 |- ( x e. ( B \ C ) <-> ( x e. B /\ -. x e. C ) )
98orbi2i 541 . . . 4 |- ( ( x e. A \/ x e. ( B \ C ) ) <-> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
10 orc 400 . . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( x e. A \/ x e. B ) )
11 olc 399 . . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( -. x e. C \/ x e. A ) )
1210, 11jca 554 . . . . . 6 |- ( x e. A -> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) )
13 olc 399 . . . . . . 7 |- ( x e. B -> ( x e. A \/ x e. B ) )
14 orc 400 . . . . . . 7 |- ( -. x e. C -> ( -. x e. C \/ x e. A ) )
1513, 14anim12i 590 . . . . . 6 |- ( ( x e. B /\ -. x e. C ) -> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) )
1612, 15jaoi 394 . . . . 5 |- ( ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) -> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) )
17 simpl 473 . . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ -. x e. C ) -> x e. A )
1817orcd 407 . . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ -. x e. C ) -> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
19 olc 399 . . . . . 6 |- ( ( x e. B /\ -. x e. C ) -> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
20 orc 400 . . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
2120adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ x e. A ) -> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
2220adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( x e. B /\ x e. A ) -> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
2318, 19, 21, 22ccase 987 . . . . 5 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) -> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
2416, 23impbii 199 . . . 4 |- ( ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) )
257, 9, 243bitri 286 . . 3 |- ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) )
265, 6, 253bitr4ri 293 . 2 |- ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) <-> x e. ( ( A u. B ) \ ( C \ A ) ) )
2726eqriv 2619 1 |- ( A u. ( B \ C ) ) = ( ( A u. B ) \ ( C \ A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   u. cun 3572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579
This theorem is referenced by: (None)
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