Theorem untuni 31586

Description: The union of a class is untangled iff all its members are untangled. (Contributed by Scott Fenton, 28-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
untuni	|- ( A. x e. U. A -. x e. x <-> A. y e. A A. x e. y -. x e. x )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem untuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.23v 3023	. . . 4 |- ( A. y e. A ( x e. y -> -. x e. x ) <-> ( E. y e. A x e. y -> -. x e. x ) )
2	1	albii 1747	. . 3 |- ( A. x A. y e. A ( x e. y -> -. x e. x ) <-> A. x ( E. y e. A x e. y -> -. x e. x ) )
3		ralcom4 3224	. . 3 |- ( A. y e. A A. x ( x e. y -> -. x e. x ) <-> A. x A. y e. A ( x e. y -> -. x e. x ) )
4		eluni2 4440	. . . . 5 |- ( x e. U. A <-> E. y e. A x e. y )
5	4	imbi1i 339	. . . 4 |- ( ( x e. U. A -> -. x e. x ) <-> ( E. y e. A x e. y -> -. x e. x ) )
6	5	albii 1747	. . 3 |- ( A. x ( x e. U. A -> -. x e. x ) <-> A. x ( E. y e. A x e. y -> -. x e. x ) )
7	2, 3, 6	3bitr4ri 293	. 2 |- ( A. x ( x e. U. A -> -. x e. x ) <-> A. y e. A A. x ( x e. y -> -. x e. x ) )
8		df-ral 2917	. 2 |- ( A. x e. U. A -. x e. x <-> A. x ( x e. U. A -> -. x e. x ) )
9		df-ral 2917	. . 3 |- ( A. x e. y -. x e. x <-> A. x ( x e. y -> -. x e. x ) )
10	9	ralbii 2980	. 2 |- ( A. y e. A A. x e. y -. x e. x <-> A. y e. A A. x ( x e. y -> -. x e. x ) )
11	7, 8, 10	3bitr4i 292	1 |- ( A. x e. U. A -. x e. x <-> A. y e. A A. x e. y -. x e. x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   A.wal 1481   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   U.cuni 4436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-uni 4437

This theorem is referenced by:  untangtr  31591  dfon2lem3  31690  dfon2lem7  31694