Theorem untsucf 31587

Description: If a class is untangled, then so is its successor. (Contributed by Scott Fenton, 28-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
untsucf.1	|- F/_ y A

Assertion

Ref	Expression
untsucf	|- ( A. x e. A -. x e. x -> A. y e. suc A -. y e. y )

Distinct variable groups:   x, A   x, y

Allowed substitution hint:   A( y)

Proof of Theorem untsucf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		untsucf.1	. . 3 |- F/_ y A
2		nfv 1843	. . 3 |- F/ y -. x e. x
3	1, 2	nfral 2945	. 2 |- F/ y A. x e. A -. x e. x
4		vex 3203	. . . 4 |- y e. _V
5	4	elsuc 5794	. . 3 |- ( y e. suc A <-> ( y e. A \/ y = A ) )
6		elequ1 1997	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x e. x <-> y e. x ) )
7		elequ2 2004	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( y e. x <-> y e. y ) )
8	6, 7	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x e. x <-> y e. y ) )
9	8	notbid 308	. . . . 5 |- ( x = y -> ( -. x e. x <-> -. y e. y ) )
10	9	rspccv 3306	. . . 4 |- ( A. x e. A -. x e. x -> ( y e. A -> -. y e. y ) )
11		untelirr 31585	. . . . 5 |- ( A. x e. A -. x e. x -> -. A e. A )
12		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( y = A -> ( y e. y <-> A e. y ) )
13		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( y = A -> ( A e. y <-> A e. A ) )
14	12, 13	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( y e. y <-> A e. A ) )
15	14	notbid 308	. . . . 5 |- ( y = A -> ( -. y e. y <-> -. A e. A ) )
16	11, 15	syl5ibrcom 237	. . . 4 |- ( A. x e. A -. x e. x -> ( y = A -> -. y e. y ) )
17	10, 16	jaod 395	. . 3 |- ( A. x e. A -. x e. x -> ( ( y e. A \/ y = A ) -> -. y e. y ) )
18	5, 17	syl5bi 232	. 2 |- ( A. x e. A -. x e. x -> ( y e. suc A -> -. y e. y ) )
19	3, 18	ralrimi 2957	1 |- ( A. x e. A -. x e. x -> A. y e. suc A -. y e. y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   = wceq 1483   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   suc csuc 5725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-v 3202  df-un 3579  df-sn 4178  df-suc 5729

This theorem is referenced by:  dfon2lem3  31690