Theorem dfon2lem3 31690

Description: Lemma for dfon2 31697. All sets satisfying the new definition are transitive and untangled. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dfon2lem3	|- ( A e. V -> ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> ( Tr A /\ A. z e. A -. z e. z ) ) )

Distinct variable group:   x, A, z

Allowed substitution hints:   V( x, z)

Proof of Theorem dfon2lem3

Dummy variables w t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		untelirr 31585	. . . . 5 |- ( A. z e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } -. z e. z -> -. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } )
2		eluni2 4440	. . . . . 6 |- ( z e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } <-> E. x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } z e. x )
3		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
4		sseq1 3626	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = x -> ( w C_ A <-> x C_ A ) )
5		treq 4758	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = x -> ( Tr w <-> Tr x ) )
6		raleq 3138	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = x -> ( A. t e. w -. t e. t <-> A. t e. x -. t e. t ) )
7	4, 5, 6	3anbi123d 1399	. . . . . . . . . 10 |- ( w = x -> ( ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) <-> ( x C_ A /\ Tr x /\ A. t e. x -. t e. t ) ) )
8	3, 7	elab 3350	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } <-> ( x C_ A /\ Tr x /\ A. t e. x -. t e. t ) )
9		elequ1 1997	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = z -> ( t e. t <-> z e. t ) )
10		elequ2 2004	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = z -> ( z e. t <-> z e. z ) )
11	9, 10	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = z -> ( t e. t <-> z e. z ) )
12	11	notbid 308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = z -> ( -. t e. t <-> -. z e. z ) )
13	12	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. t e. x -. t e. t <-> A. z e. x -. z e. z )
14	13	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( A. t e. x -. t e. t -> A. z e. x -. z e. z )
15	14	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . 9 |- ( ( x C_ A /\ Tr x /\ A. t e. x -. t e. t ) -> A. z e. x -. z e. z )
16	8, 15	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } -> A. z e. x -. z e. z )
17		rsp 2929	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. x -. z e. z -> ( z e. x -> -. z e. z ) )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 |- ( x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } -> ( z e. x -> -. z e. z ) )
19	18	rexlimiv 3027	. . . . . 6 |- ( E. x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } z e. x -> -. z e. z )
20	2, 19	sylbi 207	. . . . 5 |- ( z e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } -> -. z e. z )
21	1, 20	mprg 2926	. . . 4 |- -. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) }
22		dfon2lem2 31689	. . . . 5 |- U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } C_ A
23		dfpss2 3692	. . . . . 6 |- ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } C. A <-> ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } C_ A /\ -. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } = A ) )
24		dfon2lem1 31688	. . . . . . 7 |- Tr U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) }
25		ssexg 4804	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } C_ A /\ A e. V ) -> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. _V )
26	22, 25	mpan 706	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. _V )
27		psseq1 3694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } -> ( x C. A <-> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } C. A ) )
28		treq 4758	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } -> ( Tr x <-> Tr U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } ) )
29	27, 28	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } -> ( ( x C. A /\ Tr x ) <-> ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } C. A /\ Tr U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } ) ) )
30		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } -> ( x e. A <-> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. A ) )
31	29, 30	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } -> ( ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) <-> ( ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } C. A /\ Tr U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } ) -> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. A ) ) )
32	31	spcgv 3293	. . . . . . . . . 10 |- ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. _V -> ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> ( ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } C. A /\ Tr U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } ) -> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. A ) ) )
33	32	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. _V /\ A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) ) -> ( ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } C. A /\ Tr U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } ) -> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. A ) )
34	26, 33	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) ) -> ( ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } C. A /\ Tr U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } ) -> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. A ) )
35		snssi 4339	. . . . . . . . . 10 |- ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. A -> { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } } C_ A )
36		unss 3787	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } C_ A /\ { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } } C_ A ) <-> ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } u. { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } } ) C_ A )
37		df-suc 5729	. . . . . . . . . . . 12 |- suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } = ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } u. { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } } )
38	37	sseq1i 3629	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } C_ A <-> ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } u. { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } } ) C_ A )
39	36, 38	sylbb2 228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } C_ A /\ { U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } } C_ A ) -> suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } C_ A )
40	22, 35, 39	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. A -> suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } C_ A )
41		suctr 5808	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Tr U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } -> Tr suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } )
42	24, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- Tr suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) }
43		untuni 31586	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. z e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } -. z e. z <-> A. x e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } A. z e. x -. z e. z )
44	43, 16	mprgbir 2927	. . . . . . . . . . . . 13 |- A. z e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } -. z e. z
45		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ t w C_ A
46		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ t Tr w
47		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ t A. t e. w -. t e. t
48	45, 46, 47	nf3an 1831	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ t ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t )
49	48	nfab 2769	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ t { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) }
50	49	nfuni 4442	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ t U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) }
51	50	untsucf 31587	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } -. z e. z -> A. t e. suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } -. t e. t )
52	44, 51	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- A. t e. suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } -. t e. t
53		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } -> ( z C_ A <-> suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } C_ A ) )
54		treq 4758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } -> ( Tr z <-> Tr suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } ) )
55		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ t z
56	50	nfsuc 5796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ t suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) }
57	55, 56	raleqf 3134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } -> ( A. t e. z -. t e. t <-> A. t e. suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } -. t e. t ) )
58	53, 54, 57	3anbi123d 1399	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } -> ( ( z C_ A /\ Tr z /\ A. t e. z -. t e. t ) <-> ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } C_ A /\ Tr suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } /\ A. t e. suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } -. t e. t ) ) )
59		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = z -> ( w C_ A <-> z C_ A ) )
60		treq 4758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = z -> ( Tr w <-> Tr z ) )
61		raleq 3138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = z -> ( A. t e. w -. t e. t <-> A. t e. z -. t e. t ) )
62	59, 60, 61	3anbi123d 1399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = z -> ( ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) <-> ( z C_ A /\ Tr z /\ A. t e. z -. t e. t ) ) )
63	62	cbvabv 2747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } = { z | ( z C_ A /\ Tr z /\ A. t e. z -. t e. t ) }
64	58, 63	elab2g 3353	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. _V -> ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } <-> ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } C_ A /\ Tr suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } /\ A. t e. suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } -. t e. t ) ) )
65	64	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. _V -> ( ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } C_ A /\ Tr suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } /\ A. t e. suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } -. t e. t ) -> suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } ) )
66		sucexg 7010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. A -> suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. _V )
67	65, 66	syl11 33	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } C_ A /\ Tr suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } /\ A. t e. suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } -. t e. t ) -> ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. A -> suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } ) )
68	42, 52, 67	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } C_ A -> ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. A -> suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } ) )
69	68	com12 32	. . . . . . . . . 10 |- ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. A -> ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } C_ A -> suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } ) )
70		elssuni 4467	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } -> suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } )
71		sucssel 5819	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. A -> ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } C_ U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } -> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } ) )
72	70, 71	syl5 34	. . . . . . . . . 10 |- ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. A -> ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } -> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } ) )
73	69, 72	syld 47	. . . . . . . . 9 |- ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. A -> ( suc U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } C_ A -> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } ) )
74	40, 73	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. A -> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } )
75	34, 74	syl6 35	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) ) -> ( ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } C. A /\ Tr U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } ) -> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } ) )
76	24, 75	mpan2i 713	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) ) -> ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } C. A -> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } ) )
77	23, 76	syl5bir 233	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) ) -> ( ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } C_ A /\ -. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } = A ) -> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } ) )
78	22, 77	mpani 712	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) ) -> ( -. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } = A -> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } ) )
79	21, 78	mt3i 141	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) ) -> U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } = A )
80	24, 44	pm3.2i 471	. . . 4 |- ( Tr U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } /\ A. z e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } -. z e. z )
81		treq 4758	. . . . 5 |- ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } = A -> ( Tr U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } <-> Tr A ) )
82		raleq 3138	. . . . 5 |- ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } = A -> ( A. z e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } -. z e. z <-> A. z e. A -. z e. z ) )
83	81, 82	anbi12d 747	. . . 4 |- ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } = A -> ( ( Tr U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } /\ A. z e. U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } -. z e. z ) <-> ( Tr A /\ A. z e. A -. z e. z ) ) )
84	80, 83	mpbii 223	. . 3 |- ( U. { w | ( w C_ A /\ Tr w /\ A. t e. w -. t e. t ) } = A -> ( Tr A /\ A. z e. A -. z e. z ) )
85	79, 84	syl 17	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) ) -> ( Tr A /\ A. z e. A -. z e. z ) )
86	85	ex 450	1 |- ( A e. V -> ( A. x ( ( x C. A /\ Tr x ) -> x e. A ) -> ( Tr A /\ A. z e. A -. z e. z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   C. wpss 3575   {csn 4177   U.cuni 4436   Tr wtr 4752   suc csuc 5725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-uni 4437  df-iun 4522  df-tr 4753  df-suc 5729

This theorem is referenced by:  dfon2lem4  31691  dfon2lem5  31692  dfon2lem7  31694  dfon2lem8  31695  dfon2lem9  31696  dfon2  31697