Theorem untangtr 31591

Description: A transitive class is untangled iff its elements are. (Contributed by Scott Fenton, 7-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
untangtr	|- ( Tr A -> ( A. x e. A -. x e. x <-> A. x e. A A. y e. x -. y e. y ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem untangtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tr 4753	. . . 4 |- ( Tr A <-> U. A C_ A )
2		ssralv 3666	. . . 4 |- ( U. A C_ A -> ( A. x e. A -. x e. x -> A. x e. U. A -. x e. x ) )
3	1, 2	sylbi 207	. . 3 |- ( Tr A -> ( A. x e. A -. x e. x -> A. x e. U. A -. x e. x ) )
4		elequ1 1997	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x e. x <-> y e. x ) )
5		elequ2 2004	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( y e. x <-> y e. y ) )
6	4, 5	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x e. x <-> y e. y ) )
7	6	notbid 308	. . . . 5 |- ( x = y -> ( -. x e. x <-> -. y e. y ) )
8	7	cbvralv 3171	. . . 4 |- ( A. x e. U. A -. x e. x <-> A. y e. U. A -. y e. y )
9		untuni 31586	. . . 4 |- ( A. y e. U. A -. y e. y <-> A. x e. A A. y e. x -. y e. y )
10	8, 9	bitri 264	. . 3 |- ( A. x e. U. A -. x e. x <-> A. x e. A A. y e. x -. y e. y )
11	3, 10	syl6ib 241	. 2 |- ( Tr A -> ( A. x e. A -. x e. x -> A. x e. A A. y e. x -. y e. y ) )
12		untelirr 31585	. . 3 |- ( A. y e. x -. y e. y -> -. x e. x )
13	12	ralimi 2952	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. x -. y e. y -> A. x e. A -. x e. x )
14	11, 13	impbid1 215	1 |- ( Tr A -> ( A. x e. A -. x e. x <-> A. x e. A A. y e. x -. y e. y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   A.wral 2912   C_ wss 3574   U.cuni 4436   Tr wtr 4752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-in 3581  df-ss 3588  df-uni 4437  df-tr 4753

This theorem is referenced by: (None)