Theorem clselmap 38425

Description: The closure function is a map from the powerset of the base set to itself. (Contributed by RP, 22-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clselmap.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
clselmap.k	⊢ 𝐾 = (cls‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
clselmap	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐾 ∈ (𝒫 𝑋 ↑𝑚 𝒫 𝑋))

Proof of Theorem clselmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clselmap.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		clselmap.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (cls‘𝐽)
3	1, 2	clsf2 38424	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐾:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋)
4	1	topopn 20711	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
5		pwexg 4850	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐽 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝒫 𝑋 ∈ V)
7	6, 6	elmapd 7871	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐾 ∈ (𝒫 𝑋 ↑𝑚 𝒫 𝑋) ↔ 𝐾:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋))
8	3, 7	mpbird 247	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐾 ∈ (𝒫 𝑋 ↑𝑚 𝒫 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  𝒫 cpw 4158  ∪ cuni 4436  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↑_𝑚 cmap 7857  Topctop 20698  clsccl 20822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-top 20699  df-cld 20823  df-cls 20825

This theorem is referenced by:  dssmapntrcls  38426  dssmapclsntr  38427